六章节简单超静定问题.ppt

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1、1,简单的超静定问题,第 六 章, 超静定问题及其解法, 拉压超静定问题, 扭转超静定问题, 简单超静定梁,返回,2,约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静定问题。,只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。,6-1 超静定问题及其解法,2、超静定问题,1、静定问题,3,未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。,3、超静定的次数,5、多余未知力,4、多余约束,多于维持平衡所必需的支座或杆件。,与多余约束相应的支座约束力或内力。,4,5,一次超静定,6,6-2 拉压超静定问题,一、一般超静定问题,例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量

2、为E， 在C点处承受轴力F 的作用，如图 所示，计算约束力。,F,b,l,B,A,C,a,7,这是一次超静定问题。,平衡方程为,a,8,相容条件是：杆的总长度不变,a,9,变形几何方程为：,FB,y,F,B,FA,A,C,a,10,补充方程为,平衡方程为,FB,y,F,FA,A,C,a,11,例题：设 1、2、3 三杆用铰链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。 试求在沿铅垂方向的外力 P 作用下各杆的轴力。,12,解：列静力平衡方程,这是一次超静定问题。,13,由于1,2 两杆在 几何，物

3、理 及 受力 方面都是对称。所以 变形后 A 点将沿铅垂方向下移。,14,相容条件：变形后三杆仍绞结在一起。,C,A,B,D,1,2,3,15,C,A,B,D,1,2,3,变形几何方程为,物理方程为,16,C,A,B,D,1,2,3,补充方程为,17,解超静定问题的步骤：,解超静定问题注意,画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。,18,19,例题：图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB ( AB 的变形略 去不计)，在横梁上作用着荷载 G。如杆 1、2、3 的截面 积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A ，l ，E 。试求 1、 2、3 三杆的轴力 FN1，FN2，FN3 。,20,解

4、：(1) 平衡方程,这是一次超静定问题， 且假设均为拉杆。,21,(2) 变形几何方程,(3) 物理方程,22,补充方程,(4) 联立平衡方程与补充方程求解,23,思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 尺寸 如图所示，拉力F 为已知。求各杆的轴力。,A,B,C,1,2,3,40,80,80,F,50,75,24,A,B,C,1,2,3,F,50,75,变形相容条件,变形后三根杆与梁 仍绞接在一起。,变形几何方程,25,A,B,C,1,2,3,F,50,75,补充方程,静力平衡方程,26,例题：刚性杆AB 如图所示。已知 1、2 杆的材料，横截面积 ， 长度均相同。若两杆的横截

5、面面积 A = 2cm2，材料的许用应 力 =100MPa。试求结构所能承受的最大荷载 Pmax 。,27,解：这是一次超静定问题,(1) 列静力平衡方程,取 AB 为研究对象,28,FN2 2a + FN1 a - P a = 0,这是一次超静定问题,29,(2) 变形几何方程,1,2,A,B,C,P,2a,a,30,(3) 列补充方程,(4) 由静力平衡方程和补充 方程联立解 FN1 和 FN2,31,强度条件为,求得 P=50kN,由,(5) 由强度条件求 Pmax,32,例题：桁架由三根抗拉刚度均为 EA 的杆 AD，BD 和 CD 在D 点绞接而成，求在力 P 作用下三杆的内力。,3

6、3,解：设 AD、BD 和 CD 杆的轴力 FN1，FN2，FN3 均为拉力。,作节点 D 的受力图。,34,D 点的平衡方程为,这是一次超静定问题,35,变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。,36,作变形图,37,38,几何方程为,39,几何方程为,40,补充方程,联立补充方程和平衡方程求解,FN1 = ? FN2 = ? FN3 = ?,41,二、装配应力,图示杆系，若 3 杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆 将处于图中位置，因而产生轴力。,42,3 杆的轴力为拉力，1，2 杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为 装配应力。,43,代表杆3 的伸长,代表

7、杆1或杆2 的缩短,代表装配后 A 点的位移,A,B,C,D,2,1,3,44,(1) 变形几何方程,(2) 物理方程,A,B,C,D,2,1,3,45,补充方程为,A,B,C,D,2,1,3,46,(4) 平衡方程,A,B,C,D,2,1,3,47,补充方程为,与平衡方程联立,FN1，FN2，FN3 可解,48,例题 ：两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm。 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并 保持三根杆的轴线平行且等间距 a。试计算各杆内的装配应 力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的 矩形，钢的弹性模量E=210G

8、Pa，铜的弹性模量E3=100GPa。 铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。,49,50,（c),A,B,C,1,2,变形几何方程为,51,代入,得补充方程,列平衡方程,52,解三个联立方程,可得装配内力 FN1，FN2，FN3，进而求出装配应力。,53,三、温度应力,例题 ： 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。 设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料的 弹性模量为 E，线膨胀系数为 。试求温度升高 T时杆内的 温度应力。,54,解：,这是一次超静定问题,l,A,B,变形相容条件是，杆的总长度不变。即,55, lN,l,A,B,杆的变形为两部分：,由温度升

9、高引起的变形,由轴向压力 P1 = P2 引起的变形, lT,56,变形几何方程是：,l,A,B,57,补充方程是：,温度内力为：,温度应力为：,l,A,B,58,例题：桁架由三根抗拉压刚度均为 EA 的杆在 A 点绞接， 试求由于温度升高 T 而引起的温度应力。材料的线膨胀系 数为。,59,解：AB1， AC1， AA1 分别为由于温度的升高引起 1，2 ， 3 三杆的伸长。,60,61,假设装配后节点 A下降至 A2 处,A1A2 装配后 3 杆的伸长,B1B2 装配后杆 1 的缩短,C1C2 装配后 2 杆的缩短,62,FN1，FN2，FN3 为各杆的装配内力,63,(1) 变形几何方程

10、,物理方程关系：,64,（2）补充方程：,65,(3) 平衡方程,66,（4）联立求解,67,解得,FN1，FN2，FN3 皆为正，说明如所设1，2 杆受压，3 杆受拉。,68,拉压超静定1,69,拉压超静定2,70,6-3 扭转超静定问题,例题: 两端固定的圆截面杆AB ，在截面 处受一个扭转 力偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP ， 试求杆两端的支座约束力偶矩。,71,解：去掉约束， 代之以支座约束力偶.,这是一次超静定问题。,72,C 截面相对于两固定 端 A 和 B 的相对扭 转角相等。,杆的变形相容条件是：,73,C,m,a,b,A,B,l,1,2,变形几何方程,由物

11、理关系建立补充方程,74,补充方程,C,m,a,b,A,B,l,1,2,联立平衡方程和补充方程即可解得约束力偶,解得:,75,例题：图 示一长为 l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆 组成,内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度 GIPa ，GIPb 。当此组合杆 的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为 m 的扭转力偶的作用。 试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。,76,解：列平衡方程,这是一次超静定问题,m,m,l,A,B,77,变形相容条件是，内，外 杆的扭转变形应相同。,变形几何方程是,m,m,m,l,A,B,78,物理关系是,代如变形几何方程，得补充方程,m

12、,m,m,l,A,B,79,联立平衡方程和补充方程，解得：,m,m,m,l,A,B,80,一、 基本概念,6-4 简单超静定梁,81,二 、求解超静定梁的步骤,图示为抗弯刚度为 EI 的一次超静定梁，说明超静定梁的解法。,82,（1）将可动绞链支座作看多余 约束解除多余约束，代之以 约束力 RB 。得到原超静定 梁的 基本静定系。,83,（2） 超静定梁在多余约束处的 约束条件，梁的 变形相容条件。,（3）根据变形相容条件得 变形几何方程,变形几何方程为,84,（4）将力与变形的关系代入 变形几何方程得补充方程,查表得,A,B,q,85,A,B,q,补充方程 为,由该式解得,86,求出该梁固定

13、端的两个约束力,A,B,q,87,代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系。,变形相容条件为,请同学们自行完成 ！,方法二,取支座 A 处阻止梁转动的约束 为多余约束。,88,例题 ：梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 , 试求钢杆 AD 内的拉力 N。,a,2a,A,B,C,q,2q,D,89,解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作 多于约束。拉力 N 为多余反力

14、。基本静定系如图,90,A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即,91,B,C,q,2q,N,变形几何方程为,根据叠加法 A 端的挠度为,92,在例题 中已求得,可算出,B,C,q,2q,N,B,C,q,2q,B,C,N,93,拉杆 AD 的伸长为,补充方程为,由此解得,94,例题 ：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。 已知 EI = 5 103 kN.m3 。,95,解：这是一次超静定.,取支座 B 截面上的相对 转动约束为多余约束。,基本静定系为在 B 支座 截面上安置绞的静定梁， 如图 所示。,96,多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的 B端 处的一对弯矩 MB,变形相容条件为，简支梁 AB的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等。,97,由表中查得,98,补充方程为,解得:,负号表示 B 截面弯矩 与假设相反。,99,由基本静定系的平衡方程 可求得其余约束力,在基本静定系上绘出 剪力图和弯矩图。,100,弯曲超静定1,101,弯曲超静定2,102,作 业,第一次：6-5, 6-8, 第二次： 6-11, 6-17,