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1、第3章 结构可靠度计算方法,3.1 一次二阶矩法,设 为影响结构功能的n个随机变量，结构功能函数为,将结构功能函数在点 (i=1,2,n)泰勒级数展开，即有,为了得到线性极限状态方程，近似地只取到一次项，得到,对于非线性的结构功能函数，在均值点进行泰勒级数展开并取得一次式，称之为均值一次二阶矩法。由于结构功能函数是在均值点展开的。故又称之为中心点法。,一、均值一次二阶矩法(中心点法),功能函数是表示在(n+1)维空间中的一个超曲面，若Z=0则表示在n维空间中的一个极限状态超曲面经展开近似后的功能函数式则是指通过超曲面上中心点的超曲面，所谓一次近似，就是用这个极限状态超曲面来近似极限状态超曲面。
2、,极限状态方程：,假定所有基本变量均服从正态分布，且统计独立，则Z的平均值和标准差为：,将X空间按下述关系表示：,得到的近似极限状态超平面为：,将X空间变换到 空间， 空间的原点就是在X空间中，以基本变量平均值为坐标的中心点M 。,从 空间的原点（即中心点M）到该平面的距离为,在几何意义上，是指在经标准化变换后的空间中，从中心点到近似的极限状态超平面的距离。,例1. 圆截面直杆，承受拉力P=100kN,设杆的直径d和材料的应力屈服极限 为随机变量，其均值和标准差分别为,试计算直杆的抗拉可靠指标。,解：若建立用内力表示的极限状态方程，可得,于是得到线性化的极限状态方程为,解：若建立用应力表示的极
3、限状态方程，可得,将此方程在均值点线性化得,例2. 已知结构有两个随机变量R和S，功能函数分别为: , R和S的平均值和变异系数分别为：,分别用 和 计算结构可靠指标。,均值一次二阶矩法的优点：,(1)概念清楚，计算简便，可导出解析表达式，直接给出可靠指标与随机变量统计参数分布的关系，分析问题方便灵活。,(2)当结构可靠指标较小，即失效概率较大时，失效概率的值对功能函数中的随机变量的概率分布类型并不十分敏感，即由各种合理分布算出的失效概率值大多在同一数量级，其精度也足够了。,均值一次二阶矩法的缺点：,(1)对承受同一荷载的同一构件，若采用不同的功能函数来描述结构构件的同一功能要求，则采用均值法
4、可能会得到不同的可靠指标值。,(2)均值法是选取随机变量的均值点，作为功能函数的线性化点，由此计算的可靠指标值将产生较大误差，这也是均值点不能用于实际工程分析的主要原因。,为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用。,1 两个相互独立的正态分布变量R和S,极限状态方程为：,对R和S作标准化变换,二、改进的一次二阶矩法(验算点法),以 和 表述极限状态,用 除上式得,极限状态直线的 标准法线式方程,(1)的几何意义 标准正态化坐标系中,原点o到极限状态直线的最短距离 oP*，co
5、sS、cosR为oP*对各坐标向量的方向余弦,(2)设计验算点,在原坐标系中，验算点的坐标,且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程,在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点,2 多个正态分布随机变量,对Xi作标准化变换,在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 到曲面的最短距离P*就 是结构可靠指标,设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点,可证明在
6、原坐标系中P*的坐标为,由于P*点未知，用式 不能直接求出，需采用迭代法结合式 确定结构设计验算点坐标和计算,假设一组Xi值，通常取Xii (2) 求cosi (3) 由Xi*=icosi+i，求X1*，X2*，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，Xn*)=0求 (5) 重复(2) - (4)求,与前一轮值比较，直至两轮值的差小于 允许值为止,3 多个非正态分布随机变量,需在设计验算点xi处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）,根据设计验算点xi处当 量正态化条件,得当量正态变量i的特征值,求出Xi、Xi后根据验算点法可计算值,式中 标准正态分布概率密度函数
7、,在验算点处，当量前后分布函数值相等； 当量前后概率密度函数值相等,例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标,解：假设验算点坐标： S*= S=60kN R*= R=135kN,将R、S当量正态化,5求,6 求S* R*,重复2-6,计算见表8-4,=3.3005,4 求S* 、R*,3计算方向余弦,三 响应面法,由概率的定义可知，某事件的发生概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算。因此在结构可靠度计算过程中可以通过对随机变量进行大量的随机抽样然后这些抽样值一组一组的代入结构功能函数g(x)，根据计算得到的功能函数值确定结构安全与否，最后根
8、据事件发生的次数计算结构的可靠度或失效概率。,1、一次响应面法,设含有两个基本随机变量 的极限状态函数为 ，它一般是非线性的，取响应面函数为一次多项式，即,为了确定a0、a1和a2，首先以均值mx为中心，在区间(mx-x, mx + x )内选取2+1个样本点。由样本点可计算得到 的值，在由式子建立三个方程求解系数a0、a1和a2 。,响应面函数确定后，即可计算结构的可靠指标和设计验算点的值。,2、二次响应面法,(1)以均值点为中心点，在区间(mx-fx, mx + fx )内选取样本点，由样本点可计算得到2n+1个函数g(x)值，然后确定响应面的待定系数，得到响应面函数之后，即可求出极限状态面上设计验算点XD的近似值。,(2)选取新的中心点，新中心点XM可选在均值点与设计验算点XD的连线上，并保证满足极限方程，即,重复(1)的工作，即可得到极限状态面上设计验算点的值和相应的可靠指标。整个过程需要求解4n+3个函数g(x)的值。,