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1、第一篇,力学,动量 角动量,上次课的作业： 2T1，T 2 ， T3 ， T4 ， T5,动量 角动量,Momentum & Angular Momentum,第1节 冲量与动量定理,第2节 质点系的动量定理 动量守恒定律,第3节 角动量定理 角动量守恒定律,Impulse & Momentum Theorem,第1节 冲量与动量定理,1. 冲量,则称,为 在dt时间内给质点的冲量。,时间由,若质点受力的持续作用，,则在这段时间内力对质点的冲量为:,(力的时间累积效应),2. 动量定理,利用牛顿第二定律可得:,动量定理：冲量等于动量的增量。,(微分形式),(积分形式),注意：动量定理适用于惯性
2、参考系。在非惯性系 中还须考虑惯性力的冲量。,动量定理常用于处理碰撞和打击问题。在这些过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大且 随时间急剧变化。这种力通常叫做冲力 。,冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两 时刻,质点的动量比较容易测定, 所以动量定理可以 为估算冲力的大小带来方便。,则:,例1. 设机枪子弹的质量为50g,离开枪口时的速度 为800m/s。若每分钟发射300发子弹，求射手 肩部所受到的平均压力。,解:,射手肩部所受到的平均压力为,根据动量定理,例2.飞机以v=300m/s(即1080 km/h)的速度飞行,撞 到一质量为m=2.0kg的鸟,鸟的长度为l0.3 m。 假设鸟
3、撞上飞机后随同飞机一起运动, 试估算 它们相撞时的平均冲力的大小。,解:,以地面为参考系,因鸟的速度远小于飞机的, 可 将它在碰撞前的速度大小近似地取为v0=0 m/s, 碰撞后的速度大小v300m/s。,由动量定理可得,碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度 l的距离所需的时间，则:,例3.一条质量为 M 长为 L 的均匀链条，放在一光滑 的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌 子的边缘，在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况 下链条刚刚离开桌面时的速度：,（1）在刚刚下落时，链条为一直线形式,研究对象：整条链条,建立坐标：如图,受力分析：,动量定理：,解：（1）链条在运动过程中，
4、各部分的速度、 加速度都相同。,动画,研究对象：链条的落下部分,建立坐标：如图,受力分析：,t时刻链条动量为：,?,（2）在刚刚下落时，链条盘在桌子边缘,动画,t+dt时刻链条动量为：,两边同乘 x v ：,当 x = L 时,两边积分：,dt时间内动量的变化:,dt时间内合外力的冲量：,根据动量定理：,应用牛顿第二定律怎么做？,例4.一根铁链链长 l，平放桌上，质量线密度为。 今用手提起链的一端使之以匀速v 铅直上升。 求: 从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？,t时刻铁链的动量为：,解:,t+dt时刻铁链的动量为：,动量的变化为：,dt时间内合外力的冲量为：,根据动量定理：,全链离地 时
5、的动量,？,手拉力的冲量：,应用牛顿第二定律怎么做？,例5. 一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚好触及水平桌面,现松开绳的上端,让绳落到桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的绳重G的三倍。,解：,考虑dy段的下落，分两个过程:,依牛顿第三定律：,1、到达桌面前，自由落体,2、到达桌面时，受到冲量速度变为0,过程1：,过程2：,于是：,联立解得：,（G为已落到桌面上的绳重）,第2节 质点系的动量定理 动量守恒定律,Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation
6、 of Momentum,1. 质点系的动量定理,质点系中第i个质点所受的内力和外力之和为,依牛顿第二定律，有,即:,对质点系内所有的质点写出类似的式子， 并将全部式子相加得,内,内,外,外,0,记,系统所受的合外力,系统的总动量,则有,质点系的动量定理：系统在某一段时间内所受合 外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量 的增量。,且,质点系的 动量定理,若在非惯性系中,还须考虑惯性力的冲量。,(适用于惯性系),外,2. 动量守恒定律,当 时，,动量守恒定律在直角坐标系中的分量式：,普遍适用（高低速、宏微观）。,例6. 水平光滑冰面上有一小车,长度为L,质量为 M。车的一端有一质量为m的人,
7、人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端, 求:人和车各移动的距离。,解:设人速为u,车速为v。,系统在水平方向上动量守恒 ，,Mv+ mu= 0,人地,车地,人车,3、变质量问题,可用动量定理与动量守恒定律来处理。,以火箭为例：,将火箭体与其中尚存的燃料看成一系统。,时间喷出气体质量,其相对火箭速度,其绝对速度,时间内系统动量增量,由动量定理,时刻：,动量,密歇尔斯基方程,火箭运动方程,注意：,（质量流动基本方程）,（1） 为单位时间流入（0）或流出（0）的质量 。,是流入前或流出后的相对速度。,（2）式中第二项为火箭受到的推力（喷气反冲力）,（系统内力）,用于向上飞行火箭：不计空气阻力
8、，则,标量式（向上为正）,讨论：提高 途径,解：,（向上）,若 ，火箭初速为 ，质量为 ，燃料耗尽时质量 为 ，速度为 。,讨论：喷气式飞机有阻力、有动力求推力？,阻力,动力,1. 质点的角动量,定义：,力矩：,角动量也叫,单位：,注意:,同一质点对不同定点的角动量是不同的。,动量矩。,(线)动量,第3节 角动量定理 角动量守恒定律,Angular Momentum Theorem & Principle of Conservation of Angular Momentum,例如, 质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：,2. 质点的角动量定理,注意:,适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性
9、力”。,对 求时间的导数：,0,冲量矩,(微分形式),(积分形式),质点的角动量定理：质点对任一固定点的角动量的时间变化率，等于质点所受的合外力对该固定点的力矩。,3. 质点的角动量守恒定律,若,则,角动量守恒定律,（2）,（1）是普遍规律,宏观、微观均适用。,（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。,力心,质点对力心的角动量守恒。,（4）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒.,（5）角动量守恒, 不见得动量守恒. 如:匀速圆周运动.,注意:,角动量守恒定律的分量式：,角动量守恒定律在直角 坐标系中的分量式可表示为：,当总角动量不守恒时，角动量在某些 方向上的分量可以 是守恒
10、的。,例5.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二 定律: 行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫 过相等的面积,即行星的矢径的面积速度为恒量。,在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积可以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，即,解：,面积速度,由于行星对太阳中心的角动量守恒，即,恒矢量,另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以行星绕太阳的运动必然是平面运动。,例6. 在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过 小孔, 其一端系一小球放在桌面上,另一端
11、用 手拉绳，开始时小球绕孔运动, 速率为v1, 半 径为r1, 当半径变为r2时, 求小球的速率v2.,解：小球受力,显然:,f拉, 有心力,f 拉,问题：若取O为参考点呢？,4. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系的角动量:,质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的矢量和,称为质点系对该给定参考点的角动量。,质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力 力矩的矢量和, 称为质点系对该给定参考点的 合外力矩。,第i个质点受到的来自质点系外的作用力 。,质点系的合外力矩:,这表明:质点系对惯性系中某给定参考点的角动量 的时间变化率, 等于作用在该质点系上所有外力对 同一参考点的总力矩。质点系的角动量定理,可以证明:,亦可写成:,因此, 当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩 为零时, 该质点系相对于该给定参考点的角动量不 随时间变化。质点系的角动量守恒定律,与质点的情形类似,若质点系对某固定点的合外 力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒， 但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。,作业： 2T6，T7 ， T8 ， T9 ， T10,