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1、例,生产特点：,可人为改变(可控因素),化工产品苯酚的产率记为 影响产率的五个主要,因素有,随各 的变化而变化,即 是因变量,即使各 相同 的值也不完全相同,故 是,即有,回归分析,对回归函数,进行统计推断,是普通函数,表示 与各 之间的确定性关系,不可观测的随机误差,可用函数 表示,带有随机性,不能用确定的函数表示,人的身高 与体重 之间存在一定关系,人的年龄 与血压 之间存在一定关系,某地温度 与湿度 之间存在一定关系,广告投入 与销量 之间存在一定关系,复习时间 与成绩 之间存在一定关系,确定性关系,变量之间的关系,非确定性关系,确定性关系特点：,非确定性关系特点：,x、y 之间存在一种
2、随机的相依关系,例,例,例,例,例,可以任意给定，或可以控制，或可以观察的量,随着 的变化而变化，即使对于相同 的值， 的取值也不相同，因而 是r.v,称 为自变量，或控制变量,称 为因变量，或响应变量,研究自变量与因变量之间的相关关系。,变量的特点,回归分析研究的内容,考虑人的身高 与体重 之间的关系：,当 固定时，有,当 不同时， 的平均值 也不同,即有,故有,或写为,称上式为回归模型， 称为回归函数,研究 与 之间的相关关系,研究回归函数,(一) 一元线性回归模型,例,回归(regression)的含义,回归一词是英国著名人类学家和气象学家高尔顿于1885年引入的.在“身高遗传中的平庸回
3、归”的论文中,高尔顿阐述了他的重大发现：虽然高个子的先代会有高个子的后代,但子代的身高并不象其父代,而是趋向于比他们的父代更加平均,就是说如果父亲身材高大,则子代的身材要比父代矮小一些；如果父亲身材矮小,则子代的身材要比父代高大一些.换言之,子代的身高有向平均值靠拢的趋向.因此,他用回归一词来描述子代身高与父代身高的这种关系.,回归,是自然界的一种现象,是一种自然规律.,设儿子身高为 ,父亲身高为,英国著名统计学家皮尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据,分析得出,它们具有相关关系,假设 为线性函数,即有,(单位:英寸),故有,儿子身高 与父亲身高 的回归模型,170cm,175cm,180c
4、m,，即设,则得到一元线性回归模型,未知,怎样求回归函数？,通常假设 为一多项式,最简单的假设是设 为线性函数,估计回归函数,估计系数,于是,即怎样估计 ？,问题,问题,对 作线性假设的数学原理是什么？,其中 是可观察的控制变量， 是响应变量(r.v)。,与 之间有怎样的关系？,的影响,测得数据如下,例,问,即 具有如下形式,对于一元线性回归模型,未知参数 的点估计是什么？,线性模型的假设是否符合实际？,怎样将线性模型用于控制？,怎样将线性模型用于预测？,怎样将非线性问题化为线性模型？,要研究的问题：,称,取 的 个不全相同的值 作 次独立试验，,得 的观察值为,为样本.,是否独立？,是否同分
5、布？,问,问,代入线性模型，则有,似然函数为,独立同分布,记,则,？,若 全相同，则试验数据只反映随机误差,令,记,得正规方程组,不全相同,从而求得 的 MLE 为,的 为,其中,从而得到 的估计为,称为经验回归函数.,为 关于 的经验回归方程(回归方程),称方程,为计算方便，引入记号,问,即 是样本的线性组合,例 为研究某化学反应过程中，温度 ()对产品得率 的影响，测得数据如下,求 关于 的线性回归方程.,解 先计算各数据项,故得,从而得 关于 的线性回归方程为,线性模型,又,故 也满足,中未知参数 的 MLE 满足,从而,是 的 MLE,是 的LSE,( Least Squares Es
6、timation 最小二乘估计),LSE 的几何意义,找使得这些垂直偏差的平方和尽可能小的那条直线,有,对于一元线性回归模型,这说明 越小，则线性回归模型效果越好,上式的实际意义是什么？,问,用 代替 引起的均方误差,的较好的点估计是什么？,问,似然函数为,令,求得 的 MLE 为,令,称为残差平方和.,则有,故 的无偏估计为,残差平方和反映了经验回归函 数值 与样本值 的偏差平方和,而 的 MLE 估计是,故 的无偏估计为,下面推导 的计算公式：,因为 ，所以,例 为研究某化学反应过程中，温度 ()对产品得率 的影响，测得数据如下,设题给数据满足线性模型,解 接前例，算得,所以,试求 的 M
7、LE 值和无偏估计值.,，故 的 MLE 值是,而 的无偏估计值是,问题,仅仅是一个假设。,“ 关于 的回归函数 是线性函数”,以上讨论中,问题的提出,线性模型,是否符合实际？,即 与 之间是否存在线性相关关系？,(四) 线性模型的显著性检验,与 之间的线性相关关系是否显著,是否成立,故提出如下假设,拒绝 ，则认为线性相关关系成立，线性模型,的效果是显著的；若接受 ，则认为模型不合理,问题,怎样检验 ？,的点估计分别为,采用 t 检验法：因为,且 相互独立,，故,，故 的拒绝域是,其中 是 的无偏估计.,参见附录2,参见附录2,当 为真时， 的值应偏小,例 为研究某化学反应过程中，温度 ()对产品得率 的影响，测得数据如下,由前例，求得回归方程为,解 依题意，要检验假设,试检验回归效果是否显著.,采用 t 检验法， 的拒绝域是,故拒绝 ,即认为回归效果显著.,END,习题,6、7(1),(2),(3),(4),