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1、1,班级： 时间： 年 月 日；星期,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,2,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间， 下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业P37P40,3,二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理,2.解向量的概念,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,4,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,2.解向量的性质,性质1 若 为齐次方程组的解，则 也是 相应齐次方程组的解.,证,性质2 若 为齐次方程组的解，k为实数，则 k 也是 相应齐次线性方程组的解.,证：,3.AX=0的基础解系,5,第十讲
2、向量组的秩与方程组解的结构,4.求AX=0的基础解系AX0的通解：,事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下,6,化A 为行最简形矩阵为,与 A 对应的方程组的同解方程组为,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,7,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,8,巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实上，我们有如下定理：,（2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r,第十一讲：方
3、程组解的解构与向量空间,9,定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r,证：,第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：,第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,10,代入同解方程组依次可得：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,11,第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,12,该定理的论证说明了两点：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,13,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,14,4.齐次线性方程组的求解结论：,根据以上齐次线性方程
4、组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：,（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.,（3）齐次线性方程组(1)的任何 n - r 个线性无关的解向量都 可作为它的基础解系.,（1）当 R(A) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系;,（2）当 R(A) n 时,齐次线性方程组(1)的基础解系含有n r 个解向量 .,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,15,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,16,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,17,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,18,（二）非齐次线性方程组的通
5、解,1.非齐次线性方程组的解向量的性质,设有非齐次线性方程组,（4）,它也可写作向量方程,（5）,性质3,的齐次线性方程组,的解.,（6）,设 及 都是（5）的解，则 为对应,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,19,证,即 满足方程（5）.,称上式为非齐次方程组AX=b的通解,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,20,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,21,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,22,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,23,二、向量组概念的拓展空间的概念,封闭：,设 V 是一个集合，,若 V,则 V；,V,则称 V 对于加法及数乘运算是封闭的.,定义1：,设 V 为 n 维
6、非空 向量集合，,及乘数两种运算封闭，,且集合 V 对于加法,则称集合 V 为向量空间.,1.向量空间的定义,定义2,设有向量空间 V1 及 V2 ，,若V1 V2，,就称 V1 是 V2,的子空间.,例1 :,齐次线性方程组的解集,是一个向量空间.(解空间),第十一讲：方程组解的解构与向量空间,24,结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,25,（2）结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 Rn 的一个基，由此可知 Rn 的维数为 n .,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,26,分析：因为任意n1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。,（4）向量由基线性表示的系数坐标,数组 称为向量 b 在基 中的坐标.,（3）过渡矩阵概念：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,27,例4: 设,验证 是 R3 的一个基，并求 在这个基中的坐标.,解,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,28,且,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,