第2章离散时间信号与系统的Z域分析ppt课件.ppt

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1、第2章 离散时间信号与系统的Z域分析,2.1 Z变换的定义及收敛域 2.2 Z反变换 2.3 Z变换的性质与定理 2.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 2.5傅里叶变换的定义及性质 2.6利用Z变换求解差分方程 2.7离散时间系统的系统函数和频率响应,2.1变换的定义及收敛域,2.1.1 z变换的定义,一个序列 的 变换定义为 其中， 是一个连续复变量，也就是说， 变换是在复频域内对离散时间信号与系统进行分析。由定义可见， 是一个复变量 的幂级数。亦可将 变换表示成算子的形式：,基于此， 变换算子可以看作是将序列 变换为函数 ，二者之间的相应关系可记为 由式（2.1.1）所定义的z变

2、换称为双边z变换，与此相对应的单边z变换则定义为 （2.1.2） 显然，只有 为因果序列（即 ）时，其单边z变换与双边z变换才是相等的。,2.1.2 z变换的收敛域,1、收敛域的定义 由定义式，只有幂级数收敛时，z变换才有意义。对于任意给定的序列 ，使其z变换所定义的幂级数 收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。 收敛的充分且必要条件是绝对可和，即,为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即,其中， 、 称为收敛半径，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。,常见的一类z变换是有理函数，即 使 的那些z

3、值称为 的零点，而使 的那些z值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。,2、序列形式与其z变换收敛域的关系,（2） 为右边序列,当 时， 为z的负幂级数，根据级数理论，存在一个收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆外处处收敛，即收敛域为 。此时的 为因果序列，因此， 在无穷远处收敛是因果序列的特征；,当 时， 可写为 上式右端第一项是（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 ；第二项为 的负幂级数，同样其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域，即 ，如图2.1.3(b)阴影区域所示。,（3） 为左边序列,当 时， 为z

4、的正幂级数，根据级数理论，必存在一个最大收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆内处收敛，即收敛为 ；,当 时， 可写为 上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域为 ；第二项为（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域 。,（4） 为双边序列,通过（2）、（3）中的讨论可知，上式第一项为右边序列(因果序列)，其收敛域为 ；第二项为左边序列，其收敛域为 ；若 ，则取交集得到双边序列的收敛域为 ，这是一个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。,表2.1.1 序列的形式与z变换收敛域的关系,2.1.3 常用序列的z变换,（1）单位抽样序列,z 变

5、换,收敛域为整个z平面,（3）单位斜变序列,由（2)中讨论可知,将上式两边对z求导得,两边同乘以-z得 的z变换,当,，即,（4）右边指数序列,这是一个右边序列，其z变换为,当 ，即 时，有,零点为 ，极点为,（5）左边指数序列,这是一个左边序列，其z变换为,当 ，即 时，有,零点为 ，极点为,（6）双边指数序列,该序列的z变换,若 ，则上面的级数收敛，得到,该序列的双边z变换的零点位于 及 ，极点位于 与 处。前已提及,z变换的收敛域内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出， 的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点为边界，对于多个极点的情况： 1）右边序列z变换的收敛域一定在模值最

6、大极点所在的圆外，可能包含 ； 2）左边序列z变换的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内，可能包含 。,2.2 z反变换,与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离散时间系统中，应用z变换的目的是为了把描述系统的差分方程转换为复变量z的代数方程，然后写出离散系统的传递函数（z域传递函数）、做某种运算处理，再用z反变换求出离散时间系统的时间响应。,2.2.1部分分式展开法,在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统中，当 的表达式为有理分式时，z反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将 分解成多个部分分式之和，然后对各部分分式求z反变换，则所求序列 就是各

7、部分分式的z反变换之和。在求各部分分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。,例 2.2.1 已知 利用部分分式展开法求z反变换 。,解：,所以,考虑 收敛域知 应为右边序列。查表2.1.2中的z变换对，得所求序列为,例 2.2.2 已知 ， 利用部分分式展开法求z反变换 。,解,则,上式第一项只有极点 ，由收敛域中 可知，该项的反变换应为右边因果序列，则,，,第二项只有极点 ，同样由收敛域中 可知，该项的反变换应为左边序列，则 ，,所以，所求序列为,或写成,由以上分析可见，在求z反变换时，一定要考虑收敛域，注意区别哪些极点对应右边序列，哪些极点对应左边序列。,2.2.2 幂级数展开

8、法,前面已经提到， 为 的幂级数，即 由此可见，在给定的收敛域内，如果将 展开为幂级数，那么 项的系数就是序列 。 将 展开为幂级数常用的方法有两种。,1）按幂级数公式展开,这种方法是运用已经熟知的幂级数展开公式完成对 的展开，往往多用于 是超越函数的情况，如 是对数、双曲正弦等，这些函数的幂级数展开公式大多已有表格可查。下面通过例子对其进行说明。,例 2.2.3 求 ， 的反变换 。 解: 依据幂级数展开公式 ， 以及 中的 （由收敛域得到），可得 由上式看到， 项的系数是 ，又由收敛域的形式得知， 是一个右边序列，则所求 为,2）长除法,一般为有理分式，用 的分母多项式去除分子多项式就可得

9、到其幂级数形式。在做长除之前，首先应该根据 的ROC判断 是右边序列，还是左边序列，然后决定将 展开z的降幂级数或升幂级数。观察z变换的定义式 ，若 是右边序列，当 时,z的幂逐渐减小，则此时，应该将 展开z的降幂级数；若 是左边序列，当 时，z的幂逐渐增加，则应该将 展开z的升幂级数。,例2.2.2 试用长除法求 ， 的z 反变换 。 解 由表达式知， 只有一个极点 ，且收敛域 在极点所在圆的外部，所以 应为右边序列，则应将 展开成z的降幂级数。运用长除法得,即 所以 。,例2.2.3 试用长除法求 ， 的z反变换 。 解 因为收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。对于双边序列可先将其分解为

10、右边序列和左边序列，所以先将 展开成部分分式再长除。,根据式（2.2.3）求系数 、 则,所以 为,观察 的收敛域可知，上式的第一项对应左边序列，第二项对应右边序列。分别运用长除法如下：,即,的幂级数形式为 所以z反变换 为,2.2.3. 围线积分法(留数法),除了以上讨论的求解z反变换的两种方法外，z反变换也可以用反演积分来计算。现在用复变函数理论来研究 的反变换。 对z变换定义式两端同乘以 ，得 对上式两端进行围线积分，可得,其中c是一条位于 收敛域内环绕原点的逆时针围线。若级数收敛，交换上式右端的积分与求和次序，得 依据柯西积分定理 则综合得,将上式的变量k用n代换，得 （2.2.7）

11、这就是围线积分的z反变换公式。,直接计算式（2.2.7）的围线积分比较复杂， 当 是有理分式时，通常都采用留数定理来求解。若 是被积函数 位于c内的所有极点，则按照留数定理，有,若 是被积函数 位于c外的所有极点， 且 分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高两阶或两阶以上，则按照留数辅助定理，有 实际使用中，具体选用哪一个，取决于计算的简便性，一般选用计算一阶极点留数的那一个。,若 是 的一阶极点，则有 若 是 的多重（s阶极点），则有,需要注意的是，在使用上述两式时，一定要计算 出 位于c内或c外的所有可能的极点处的留数，而且，当n取值不同时， 处极点的阶次可能会发生变化。,例2.2.4

12、求 ， 的反变换。 解 的反变换为 由于收敛域为 ，所以 应为因果序列，当 时， 不是 的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线c内只有一阶极点 、 ，则,由此得所求序列为,例2.2.5 试用留数法求 ， 的z反变换 。 解 c为 收敛域内的围线， 如图2.2.1所示。,当 时，围线c内只有一个一阶极点 ，则 当 时，围线c外只有一个一阶极点 ，而c内有一个一阶极点 以及 阶极点 ，而且,综合上述分析，得 可见，与例2.2.3结果相同。,2.3 变换的性质与定理,在研究离散时间信号与系统过程中，理解并掌握z变换的一些常用性质与定理是特别重要的。这些性质往往与z变换对结合起来用，使z变换与z反变换

13、的求解过程得到简化。,1.线性性质,z变换是一种线性变换，满足均匀性与叠加性，即若 则对于任意常数a、b下式成立： 收敛域一般是 和 收敛域的重叠部分。若在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，则收敛域有可能扩大。,例2.3.1 已知 ，求其z变换。 解 依据欧拉公式，得 由题知， 是一个右边因果序列。查表2.1.2可知,由此得 综合上述分析，得所求z变换为,2移位性质,1）双边z变换 若序列 的双边z变换为 ， 则移位m后的序列 的双边z变换为 ， 其中m为任意整数，若m为正，则为右移（延迟）；若m为负，则为左移（超前）。,证明 依据双边z变换的定义，可得 可以看出，序列位移只会使新序列的z

14、变换在 或 处的零极点情况发生变化：当 m为正时，在 处引入极点，在 处引入零点；当m为负时，在 处引入极点，在 处引入零点。也就是说， 的收敛域与 的收敛域相同， 或 可能除外。,例如， 的收敛域为整个z平面， 而 在 处不收敛， 在 处不收敛。但如果 是双边序列， 收敛域为环形区域，则序列位移并不会使z变换收敛域发生变化。,2) 单边z变换,设序列 的单边z变换为 ，则 右移k与左移k（k为正整数）后新序列的单边 变换分别为,（2.3.7）,如果 是因果序列，则 项都等于零，而且由于因果序列的单边z变换与双边z变换是相同的，于是因果序列右移后的单边z变换为 而因果序列左移后的单边z变换为,

15、由于在实际中，需处理的信号大多是因果序列，除了移位性质以外，双边z变换的性质大多都适用于单边z变换。 另外，从以上分析可知，若序列 延迟一个单位，即 ，新序列的z变换多乘一个 ，所以，在后续内容中，绘制信号流图时常用 表示单位延迟。,例2.3.2 求序列 的z变换。 解 查表2.1.2可知 依据移位性质得 因此，依据线性性质得所求为,3.序列指数加权性质（z域尺度变换）,此性质描述了序列 乘以指数 后，其z变换如何变化。若 ， 则有 其中a为常数，可以为复数。可见序列x(n)乘以实指数序列等效于z平面尺度展缩。 证明 依据 定义得 ， 即收敛域为 。,依据这一性质可见，新序列z变换的零极点的位

16、置均改变了。这是因为如果 有一个零点或极 点 处，则 一定有一个零点或极点在 ，即 处。也就是说在z域发生了尺度变换。若a为正实数，则表示零极点位置在z平面内沿径向收缩或扩展；若 ，则表示零极点在z平面内围绕原点旋转一个角度 。,4.序列的线性加权(z域微分),若 则有 证明 将z定义式 两端对z求导得 即,例2.3.3 求 ， 的z反变换。 解 将 两端对z求导得 则查表2.1.2知 ， 依据移位性质得 再依据z域微分性质知 综合上述两式，得 即所求序列为,5.共轭序列,若 ，则有 其中， 为 的共轭序列。 证明,6.反褶序列,若 ，则有 从上式可见， 的收敛域是 收敛域的倒置。 证明 即收

17、敛域为 。,例2.3.4 求 的z变换。 解 由题可见， 是序列 的反褶序列，查表2.1.2知 ， 则依据反褶性质得所求z变换为 ，,7.初值定理,若 是因果序列，则其初值为 证明 依据z变换定义 显然 由初值定理可以看出，若 是因果序列，则根据 就可求得 ；反过来，若因果序列 的初值为一个有限值，则其z变换 分子多项式z的阶次一定小于等于分母多项式z的阶次。,8. 终值定理,对于因果序列 ，若 的极点在单位圆内，且只允许单位圆上最多在 处有一阶极点，则有 证明 依据序列移位性质得 因为 是因果序列，所以,又由于只允许 在z=1处可能有一阶极点，故 因子 将抵消这一极点，因此 在 上收敛，所以

18、可取z1的极限。 所以,显然，只有极点在单位圆内，当 时 才收敛，才可应用终值定理。 该定理又可写为 即通过 可求得 的终值。,9.有限项累加特性,对于因果序列 ，若 ， ，则有 证明 令 ，显然 也为因果序列，则依据定义得,由此可知n、m的取值范围分别为 ，如图2.3.1所示，交换求和次序，得 收敛域为第一次求和结果 的收敛域 及 收敛域 的重叠部分。,10.序列的卷积和(时域卷积定理),若 ； ，则 的z变换为,Y(z)的收敛域是X(z)和H(z)收敛域的重叠部分。但如果位于某一z变换收敛域边缘上的极点被另一z变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。,证明,可见两序列在时域中的卷积对应于在z域中

19、两序列z变换的乘积。在分析离散线性移不变系统中，时域卷积定理特别重要。如果x(n)与h(n)分别为线性移不变离散系统的激励和单位抽样响应，那么在求系统的响应时y(n)时，可以避免卷积运算，通过X(z)H(z)的逆变换求出y(n)，在很多情况下，这样会更方便些。,例2.3.3 已知 ， 求 。 解 、 的z变换分别为 则依据时域卷积定理，得 ，,上式中 的极点与 的零点相消， 的收敛域扩大为 ，所以,11.序列相乘(z域卷积定理),若 ； ， ， 则 的z变换为 , (2.3.16) 其中, c是在哑元变量v平面上， 、 公共收敛域内环绕原点的一条逆时针封闭围线。,例2.3.4 已知 ， 求 。

20、 解：,的收敛域为 ，而 的收敛域为 ，即 ，则重叠部分为 ；因此围线c内只有一个极点 ，用留数计算可得,12.帕塞瓦尔(parseval)定理,若 且 ，则 (2.3.17) 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c位于 与 收敛域的重叠部分内（证明从略）。,说明 ： 这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔公式（定理）。,2.4 z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。本节详细分析三者之间的关系。,2.4.1 z变换与拉普拉斯变换的关系,1.序列z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系 设 为连续时间信号， 为其

21、理想抽样信号，则 的拉普拉斯变换为 (2.4.1),而序列 的z变换为 考虑 ，则 时，序列 的z变换就等于理想抽样信号的拉普拉斯变换。即,二者的关系，实际上就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为 ， 现在进一步讨论这一映射关系。将s用直角坐标形式表示为 而z用极坐标形式表示为 综合考虑以上三式，得 即,由此可见，z的模 仅对应于s的实部 ，而z的相角 仅对应于s虚部的 。下面具体分析s平面与z平面的映射关系。 （1） 与 的映射关系 其映射关系如图2.4.1所示。,图2.4.1 与 的映射关系,（2) 与 的映射关系,依据 知：,由 增加到 ，对应于 由 增加到 ，即s平面为

22、的一个水平条带对应于z平面辐角由 到 转了一周，也就是覆盖了整个z平面。,实际上， 每增加一个 ，则 相应地增加一个 ，也就是说，s平面平面上宽度为 的各个水平条带都映射为同一个z平面，如图2.4.2所示。,图 2.4.2 与 的映射关系,2. 序列z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系 熟悉了s平面和z平面的映射关系，就可以通过理想抽样所提供的桥梁，找到序列x(n)的z变换X(z)与连续时间信号 的拉普拉斯变换 之间的关系。 是 的周期延拓，即,与 的关系为,2.4.2 z变换和傅里叶变换的关系,我们知道，傅里叶变换可以看作是拉普拉斯变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆 ，即 这

23、就是说，序列在单位圆上的z变换,就等于理想抽样信号的傅里叶变换。,由第1章内容知道，连续时间信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 这就是 与连续时间信号 的傅里叶变换之间的关系。,若用数字频率 作为z平面的单位圆的参数， 表示z平面的辐角，且 ，即 上式中， 表示序列的傅里叶变换，在2.5节中将对其进行详细介绍。所以，序列在单位圆上的z变换等于序列的傅里叶变换。,2.5 序列傅里叶变换的定义及性质,序列的傅里叶变换是分析离散时间信号与系统最重要的工具之一，它给出了序列频谱的概念，使在频域对离散时间信号与系统的分析成为可能。序列的傅里叶变换是以 基函数对序列 进行正交展开的。,2.5.1 非

24、周期序列傅里叶变换的定义,1. 序列的傅里叶正变换 非周期序列 的傅里叶正变换定义为 序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform,缩写为DTFT）。可见， 是 的幂级数， 收敛的条件是,即，若序列 是绝对可和的，则它的傅里叶变换 一定存在且连续。 是序列傅里叶变换存在的充分条件，而非必要条件。有些序列，并不是绝对可和的，但也其傅里叶变化仍然存在。例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,是 的连续函数，一般为复数，可表示为 其中 、 分别为 的实部和虚部， 称为幅度谱或幅频特性， 称为相位谱，并且有,由于可以在 的相位

25、谱 上加任意整数倍的 ，而不影响 的结果，因此，我们可以通过这种方法，将 限制在 之间，即主值区间。 此外，由于 ，M为整数，则有,可见， 还是 的周期函数，周期为 。,2序列的傅里叶反变换,序列在单位圆上的z变换就等于序列的傅里叶变换，则根据z反变换的定义，并将积分围线取在单位圆上可得到序列傅里叶反变换的公式为,现将非周期序列的傅里叶变换重新归纳为 正变换 反变换,收敛的充分条件为,例2.5.1 设 ，求 的傅里叶变换。 解 依据傅里叶变换定义式，有,即 的幅度谱为 ， 相位谱为 。 设 ，则 以及幅度与相位随 变换曲线如图2.5.1所示。,图2.5.1 以及其幅度谱与相位谱曲线,例 2-2

26、-2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。,解：,*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的,上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦定理(Parseval)。,计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质，有,例 2-2-3 证明复指数序列 的傅立叶变换为,证明：,当 =0时， =1，由此得到常数1的傅里叶变换为,例 2-2-4 求余弦序列 的傅立叶变换,解：,利用上式的结果得,*可见 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，它还以2为周期进行周期延拓。,2.5.2 序列傅里叶变换的性质与定理,1.周期性 前述内容已提到， 的周期性是指 ， M为整数,其周期是 ，且能展开成傅里

27、叶级数。对离散时间信号（序列）的傅里叶变换，它同样表示了信号在频域的分布规律。但与连续时间信号的傅里叶变换不同的是，由于序列的傅里叶变换的周期性，所以在各频率点 ( M取整数)附近的频谱分布应是相同的。,在 点处表示 信号的直流分量，距离这些点越远， 频率应愈高，在 点处 频率达到最高。需要说明的是，所谓 的直流分量，是指如图2.5.2( a)所示的波形。 例如， ，当 （M取整数）时， 的序列值如图2.5.2( a)所示，它代表其直流分量；当 时， 波形如图2.5.2 (b)所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的信号。,由于序列傅里叶变换的周期性，一般只分析 之间或 之间的DTFT，本书

28、中在0，2 区间进行分析。,图2.5.2 的波形,3. 时移与频移性质 若 ，则时移性质是指,频移性质是,4. 时间反转性质 若 则有 5. 频域微分性质 若 则有,6. 共轭性质,若 则有,7.对称性质 一个共轭对称序列 定义为满足下式的序列：,其中“*”表示复数共轭。若 是实序列，则上式变为 ，即 为偶对称序列。,类似地，一个共轭反对称序列 定义为满足下式的序列： 若所给的序列是实序列，则上式为 ，即 为奇对称序列。,例 2.5.2 试分析 的对称性。 解 将 的 用 代替，再取共轭得到 则有 所以 是共轭对称序列。,任一序列 都可以表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和，即 式中

29、 类似的， 的傅里叶变换函数 也可以分解成一个共轭对称函数与一个共轭反对称函数之和，,即 式中 与 分别称为共轭对称函数和共轭反对称函数，它们满足,由上面的分析可以得到下面一些对称性质，这些性质可以直接由z变换性质中代入 而得到证明，亦可由序列的傅里叶变换的定义及性质得到。 对称性质1：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即,对称性质2：序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即 对称性质3：序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部，即 对称性质4：序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部与j的乘积，即,对称性质5：当 是实

30、序列时，其傅里叶变换 满足共轭对称性，即 若将 表示成直角坐标形式，则由对称性质5得 ， 即 的实部为偶函数，虚部为奇函数。同样，若把 极坐标的形式，则推出 的幅度为偶函数，相位为奇函数。,7. 时域卷积定理 若 则 证明 因为 所以,令 ，则有,该定理说明，两序列卷积的序列傅里叶变换服从乘积的关系。对于线性移不变系统，输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换乘以单位脉冲响应的傅里叶变换。,8. 频域卷积定理 若 则,证明,交换积分与求和的次序，得到 该定理表明，在时域相乘的两序列，转换到频域服从周期卷积关系。,9. 帕塞瓦尔（Parseval）定理 若 则有,证明,帕斯瓦尔定理告诉我们，

31、信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明的是，这里频域总能量是指 在一个周期内积分再乘以 。,2.6利用z变换求解差分方程,在第1章中提到，描述离散时间系统的差分方程可通过z变换转变成代数方程求解。由于一般的激励及响应都是有始序列，所以下面只讨论单边z变换求解差分方程的问题。,对于线性移不变离散时间系统，在零输入条件下，即激励 时，其差分方程为 ， 考虑响应为 时的值，则初始条件为 。两边取单边z变换，并根据z变换的位移 性质，可得 ，,1. 零输入响应的z域求解,故 ， 响应的序列可由z反变换求得,由上式可知，对于离散时间系统零输入响应的求解，可先将系统的齐次方程进行z变换，代入初始条件，再

32、将其展开为部分分式，最后进行z反变换，即得到系统的零输入响应。,例 2.6.1 若已知描述某离散时间系统的差分方程为 初始条件为 ，求解零输入响应 。 解 由于零输入时， ，有 若记 ，则对上式两边取单边z变换，有,可得 因 故零输入响应为,N阶线性移不变离散时间系统的差分方程为 在零状态条件下，即 时，对等式两边取单边z变换可得 故零状态响应为,2. 零状态响应的z域求解,由上式可知，求解离散时间系统的零状态响应时，可先对系统的非齐次差分方程两边进行z变换，再将其展开为部分分式，最后进行z反变换，即得到系统的零状态响应。,例 2.6.2 若已知 且 求系统的零状态响应 。 解 则,有 故所求

33、零状态响应为,对于线性移不变离散时间系统，若激励和初始状态均不为零，则对应的响应称之为全响应。根据线性移不变特性，全响应可按下式计算： 和 的求解方法如前所述。,3. 全响应的z域求解,也可以直接由时域差分方程求z变换而进行计算，即在激励为 ，初始条件 不全为零时，对方程式进行单边z变换，有 由此可解得全响应的z变换 ，从而求得全响应 。,例 2.6.3 已知 且 求全响应 。 解 设 对差分方程两边取单边z变换，有,则,即 所以系统全响应为 结果与例2.6.1与例2.6.2结果之和相同。,例 2-3-2 已知系统的输入输出满足以下差分方程， 求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。,初始条

34、件 y(-1)=1,数字信号处理 第2章 2004,2.7离散时间系统的系统函数和频率响应,本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z变换和傅立叶变换。,2.7.1 系统函数的定义,则,称 为线性时不变系统的系统函数，即系统函数是系统输出序列 变换与输入序列 变换之比。,两边取 变换得,系统函数在单位圆上的 变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换 即系统的频率响应。,2.7.2系统函数与差分方程的关系,线性移不变离散时间系统的差分方程的一般形式为,对上式两边直接取单边 变换，可得,仅由系统参数决定,所以，系统函数与差分方程有直接的关系，知道其中一个，就可以直接

35、求得另一个。,表示因式分解的形式，即,除了比例常数K以外，整个系统函数完全由其全部 零、极点来确定。,2.7.3系统的频率响应,在连续时间系统中，系统的频率响应特性反映了系统在正弦函数激励下的稳态响应随频率变化的情况。同样，在离散时间系统中，也有必要研究系统在正弦序列或复指数序列激励下的稳态响应随频率变化的关系，即离散时间系统的频率响应特性及其意义。,若输入序列是频率为 的复指数序列，即,系统的输出为,由此可见，输出 也是与输入 同频率的复指数序列，但幅度和相位受到 的调制。,也是仅由系统参数决定的。,是频率 的连续、周期复函数，周期为 。一般将 表示成直角坐标的形式,极坐标形式,群延迟 表示

36、系统的相位更为方便，即,、 分别为 实部和虚部。,例2.7.1 若系统的频率响应为 ，输入为正弦序列 ，求系统的输出序列 。,解 依据欧拉公式,的响应为,的响应为,所以,例2.7.2 设一阶系统的差分方程 为实数,求系统函数及系统的频率响应。,解 对差分方程两边取z变换，得,则系统函数为,假设系统函数的收敛域包含单位圆，则频率响应为,2.7.4 利用 的零极点分析系统,1系统的稳定性和因果性判定,系统稳定性的判据：,例2.7.3 已知 ， ，分析其因果性和稳定性。,（1）当收敛域为 时，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 这是一个因果序列。,（3）当收敛域为 时

37、，对应的系统是非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统，可求得单位抽样响应 ，这是一个双边序列。,2由零极点图分析系统的频率响应,可以写成零极点的形式，即,将 代入上式，得到系统的频率响应,对于因果系统，一般 。某一线性移不变系统的零极点分布如图2.7.3所示。,单位圆上的一点 ，也可以表示成从原点到 的向量 。零点 、极点 也可以分别表示成从原点到该零点、极点的向量。,表示由零点 指向 的向量、 表示由极点 指向 的向量。,、 为向量的模， 、 为向量的相角,则系统的频率响应可表示为,则 的幅频响应为,的相频响应为,系统的频率响应曲线的绘制,距离零点越近， 值越小，而 距离极点越近

38、， 值越大，所以靠近单位圆的零点对 的波谷有明显影响，而靠近单位圆的极点则对的 波峰有明显影响。零点可以位于单位圆外，而不影响系统的稳定性，而极点位于单位圆外时，系统不稳定。,解 对已知差分方程两端取 变换得到系统函数为,该系统有一个零点 、一个极点 ，如图所示。图中， 、 为向量的模， 、 为向量的相角，由图可见 、,所以,则,3全通系统,考虑具有如下形式系统函数的线性移不变稳定系统：,其频率响应为,观察上式最右端表达式可以看出， 的幅值为1，而分子多项式和分母多项式互为复共轭，二者的幅值相等，则系统的幅频响应为,定义对所有频率，幅频响应为1的稳定系统 称为全通系统。,一个 阶的全通系统的系

39、统函数表达式。对于单位抽样响应为实数的系统，可表示成一阶和二阶全通系统的乘积，即,的零点和极点是共轭倒数的关系，而且二者的个数相等，所以复数零极点必以四个一组出现。,一个典型的全通系统的零极点分布图。图示情况下， ，由图中可以看出零极点的关系。,信号通过全通系统后，幅度没有改变，仅有相位发生变化，这一种纯相位滤波，常用作相位均衡器或移相器。,由于全通系统的幅频响应为1，所以其频率响应 可以表示为,4最小相位系统,最小相位系统具有一些有用的特性：,2)最小相位系统具有最小群延迟和最小相位滞后特性。,3)最小相位系统具有最小能量延迟的特性。,2.7.5 无限单位脉冲响应系统与有限单位脉冲响应系统,的一般表达式为,只要在有限 平面上有一个极点，也就是不全为零，系统就是IIR系统。,