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1、平面与平面的关系(2),- 面面垂直,复习回顾,1.在平面几何中“角“是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,2.在立体几何中,“异面直线所成的角“是怎样定义的？,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。,思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？,它们的共同特征都是将三维空间的
2、角转化为二维空间的角,即平面角。,一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,平面角由射线-点-射线构成。,二面角由半平面-线-半平面构成。,l,A,B,P,Q,二面角的表示,l,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的画法,第一种是卧式法，也称为平卧式,第二种是立式法，也称为直立式,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,
3、平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的度量,l,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,例1: 如图所示:在正方体ABCD-A1B1C1D1中: (1)求二面角D1-AB-D的大小; (2)求二面角A1-AB-D的大小. 解(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB平面AD1,所以AB AD1,ABAD, 所以D1AD即为二面角D1-AB-D 的平面角.在RtD1AD中， D1AD45. 所以二面角 D1-AB-D的大小为45. (2)同理，A1AD为二面角A1-AB-D 的平面角，A1-AB-D的大小为90,1,1,1,1,数
4、学运用,A,O,D,已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,得 AD l,AO=2 ，AD=4, AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角 l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,AO,AOl,OD l,l平面AOD,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“求”,平面与平面垂直,一般地，如果两个平面所
5、成的二面角是 直二面角，我们就说这两个平面垂直,记作:,合作探究：,为什么教室的门转到任何位置时，门 所在平面都与地面垂直？,如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面垂直,平面与平面垂直判定定理,符号语言：,建构数学,图形语言：,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1C1CA平面B1D1DB.,AA1BD,BD平面A1C1CA,平面A1C1CA平面B1D1DB,数学运用,ACBD,BD平面B1D1DB,思考:,如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面?,合作探究：,如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？,要使一个
6、平面内的一条直线垂直于另一个平面，须满足什么条件？,如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,已知：ab，ab=l，ABa，ABl，B为垂足。 求证：ABb。,分析:因为ABl，所以要证ABb，只需在b内找一条与l相交的直线垂直于AB。,平面与平面垂直的性质定理,C,例.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内,已知：ab，Pa，Pa，ab 求证：aa.,数学运用,l,b,a,b,P,l,已知：ab，Pa，Pa，ab 求证：aa.,数学运用,a,a,证：设ab=l,过点P在平面a内作直线bl，,根据平面与平面垂直的性质定理，知bb,因为经过一点有且只有一条直线与平面b垂直，,所以直线a与直线b重合，即aa。,练习：1.判断下列命题是否正确,并说明理由. （）若ag，bg ，则ab. ( ) （）若ab，bg，则ag. ( ) （）若aa1， bb1，ab，则a1b1. ( ),2.如图，ab，abl, ABa,ABl，BCb， DEb，BCDE. 求证：ACDE,课堂练习,课堂练习,课堂小结,一、二面角的定义,二、二面角的表示方法,三、二面角的平面角,四、二面角的平面角的作法,五、平面与平面垂直的判定定理,六、平面与平面垂直的性质定理,作业,学案,