让数学教师的潜质尽情释放.ppt

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1、,让数学教师的潜质尽情释放,南京市宁海分校 卜以楼,bu_,三位著名人士：一位文学家，一位科学家和一位数学家，结伴到云南，在一块草地上，看到一只羊。 文学家非常惊讶： 哎，云南的羊是黑的。 科学家虽然惊讶，但比文学家要理性得多：在云南，某地的一块草地上，有一只羊是黑的。那么数学家会怎么说呢？ 数学家说：在云南，存在一只羊，至少一半是黑的。,艺术家任凭感觉，感觉的情感色彩是他的生命，于是才有了“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”这样的诗句。 科学家也有感觉，但与艺术家的感觉不同，其特点是理性的、客观的，是抑制主观感情色彩的。 数学家不相信感觉，甚至连那些仪器也不相信，数学家只相信证明。,艺术的最高

2、权威是美， 科学的最高权威是实验， 数学的最高权威是证明。 如果一位中学数学教师，也与上述三位名士相伴，会说什么？ 数学教师的潜质该释放出什么光芒呢？,第一部分 数学教育与教育数学,一、继承与改革,1.传统的数学教学 直线是几何中的一个抽象概念。从数学的逻辑来看，当然应从基本概念出发,研究基础性质。如是一直以公理体系推理出发, 那么必然会影响、扼杀大多数的学生的想象力和对数学的感受，使几何入门成为数学学习的瓶颈。这就是数学的本来逻辑不适应学生的心理基础的矛盾。,怎么办？从三维空间感受丰富的几何世界，建立起生活世界和几何世界的联系，有利于直线概念的形成。 小孩大都喜欢动画片，为什么成人却对此不那

3、么热衷呢？大概因为那些图象在小孩眼里是立体的，而在大人看来则是平面的。 世界上本来不存在平面，平面是一种抽象，这种抽象比从数量抽象到数还难。儿童最先感知的是他们生活的空间，这是一个三维世界，他们观察的是这个世界中的每一个具体的物体，以及物体之间的位置关系。,而过去的数学教学状况是几何直观讲的太少，没有运动的知识。比如把三角形分类:锐角、直角、钝角三角形。核心是直角三角形，它是分水岭。分类不是死的，任何分类几乎都有个分水岭，分水岭研究清楚了就都清楚了。如图，中间是直角三角形，外面的是锐角三角形，里面是钝角三角形。老师要把三边的关系教给同学，在直角三角形中，两直角的平方和等于斜边的平方. 从图中明

4、显看出，钝角三角形中，钝角两边的平方和小于对边的平方，锐角三角形中的结果则恰恰相反，这就是余弦定理。,数据自己获取，标准可以自己定，结论可以自己给。 如果发明创造都是在别人的标准下发 明创造，这是要吃亏的，我们要突破这些.,自己选择标准给有理数分类，并与同学交流分类的标准与结果。 对于这样的问题答案是无所谓对、错的，只要分类得出的结果与标准一致就可以。这种思维是创新的根本。,分类思想：,北大附中张思明老师给出的例子： 桌子上散落着各式各样的扣子，请同学们想一想能把这些扣子分成几类，分类的标准是什么？ 体会：分类的思想：从一个大前提出发分类，再进一步细分，但最后都是一样的。 某电视台希望了解本地

5、居民喜欢的电视节目类型，请同学们帮助设计一个调查问卷.,三角形全等的判定,北师大教授钟善基认为：我们的数学课本的编法也应该改变，如原来按逻辑系统编的欧氏几何原本加些数学习题就是数学课本，如果去掉习题，只剩下逻辑系统的论述，课本也就是专著了。 比如乘法运算的法则“负负得正”只是一种规定。 水稻专家袁隆平说“他学正负数时想不清楚这个法则的道理，就去向老师请教，老师说:“你记住就行了。”,数的运算法则本来是规定的，而不是推导出来的，先规定运算法则，然后研究运算定律是否成立。当然，怎样规定运算法则，不能是任意的，要看数学本身的性质。 如为了反映客观实际的某种数量关系而反映的一种数量关系，那它的运算法则

6、的规定，应能反映这种数量关系，从而解决有关的实际问题. 这样看来，从理论上讲，不讲为什么，只说“负负得正”是一种规定，让学生就记住并运用，是正确的。但是数学理论上正确的东西，落实到教学上并不妥当，因为它不符合学生的学习心理，只是抽象的规定，而完全没有现实的东西，对于学生的发展是不利的。,正是如此，在我们的课本上和教学实践中，才设置了种种情景，构造出了许许多多的模型，从现实需要中抽象出“负负得正”的规律。这种本来是抽象的代数结构，被生活化了，这里的评价标准不是数学, 而是数学教育！ 规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景。,案例: 函数的教学 函数是表现客观世界变化规律

7、的重要模型。函数教学，不应只是关注对其表达式，定义域和值域的讨论。而应选取具体实例进行该教学。使学生体会函数能够反映客观事物的变化规律。 但是丰富的实例会给学生留下什么呢？会给学生留下错觉：变化，可以用一个式子将变化规律描述出来。,我们知道变化不是函数的本质，用式子表示也不是函数的本质。“对应”才是函数的本质。因此，从逻辑上讲，从“集合“出发来展开函数的学习，才符合学科的逻辑体系。可是，学生呢？对教学而言，再好的数学，不满足学生的接受心理又有什么变化呢？ 人们总是说，教学的起点必须严格，第一次教给学生的概念必须是准确的，其实怎么可能呢？不难理解，当学生第一次接触“点”时，一定不是几何中的点；当

8、我们第一次向学生讲“函数”时，一定很难避免“ 当x不同时，y也不同”的信息。,正如一位伟人所说：人们认识问题一定是从错误开始，然后由此转向真理，从错误到真理，这是人们认识事物的基本规律，也是教育的基本规律。 教育的起点是谎谬和错误，教育的本质就是在纠偏，纠错，再纠错！,数学名师张乃达老师讲了一件实事：有个小贩卖韭菜，吆喝说：“好韭菜，没有一根黄的!”一位行人不声不响地从把韭菜中挑出一根黄的，质问：“这是什么?” 小贩语塞。 这件事很有趣。不过，转而一想，天下的是事未见得都那么准确，我们把有些小概率事件就当成不可能事件。日常用语，真的那么严格，趣味、情感、幽默都无从说起了，关键是一个“尺度”问题

9、。 两个蚊子没有证据,香港科技大学项武义教授曾生动地把数学比喻美女西施。 如果只是把数学形式地逻辑演绎一番，那等于是把西施放在x光下透视。当然，如果“美女”有病，x光检查是很管用的，你所看到的只是一副骨架而已，毫无美感可言。 因此，数学教师的责任是把数学有血有肉地表现出来。,超越束缚，使为了抵达自由王国。从必然王国到自由王国，是创新的必由之路；超越束缚，是为了回归自由状态，回到知识得以萌生、形成和发展的地方，是教学焕发生命活力之所在。 结论：中学课本教材，既要注意保持逻辑思维，又要体现认识系统，使之成为两者结合的数学系统的数学课本。,2.改革中的数学教育 20世纪末，改革是中国社会进步的主旋律

10、。在政治体制、经济体制改革取得生重大成功的基础上，作为上层建筑的教育改革也随之启动。1990年以来，先把素质教育作为社会主义总的教育目标，接着，创新成为教育改革的灵魂。随之，研究性学习，问题解决的教学模式，自主、探究、合作的教学方法，都在创新的理念下成为教育工作者的自觉行为。,数学课程标准,美国学者在考察台湾教育认为：建构主义只是一种认识论。认识论不能等同于教学论。数学教学必须在很短的时间内将人类几千年来积累的数学知识，让学生很快的取其精华，掌握其基础的核心部分。 没有效率的教育，不是好的教育。注意这里的效率既要考虑长期效率，又要考虑瞬时效率。,(1) 对这次课程改革的反思 对我国数学教育传统

11、肯定不够； 陈省身：中国千万不要学习美国的数学教育，中国的数学教育在实践上肯定是比美国好，事实胜于雄辩，中国好不容易有一项比美国好的数学成绩。为什么自己不珍惜，不总结呢？,3.前行中的数学教育,双基的界定 从字面上理解，双基指“数学基础知识和基本技能”。但是，什么是基础？什么是技能？不同的历史时期，不同的发展需求，会有不同的基础。比如，可以是本学科的基础，可以是为其它学科服务的基础，也可以是作为一个未来的公民的基础。“双基”的概念太模糊，很少有人能把它说清楚。,双基教学传统的继承与发展,双基教学的特征 “双基教学是注重基础知识、基本技能教学和基本能力的培养的，以教师为主导，以学生为主体，以学法

12、为基础，注重教法，具有启发性、问题驱动性、示范性、层次性、巩固性等特征的一种教学模式。”双基教学的特征突出体现在“启发式教学，精讲多练，变式练习，小步走、小转弯、小坡度的教学法，以及大容量、快节奏、高密度的复习课”。,双基教学的理论建构 张奠宙先生认为双基教学的4个理论特征，即：“记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式。”有的研究者提出了中国双基教学理论的外部结构特征和内隐性特征。 双基教学的发展双基到四基 有研究者提出，在长期的数学教育实践中，我国形成了“基础知识、基本技能 、基本能力和基本态度4个基础并重的数学教学目的观” 。,“四基”是紧密联系的有机整体，是数学学力的基本

13、构成要素。 史宁中先生提出，要从“双基”发展到“四基”。即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。如果在我国中小学数学教育中，一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面增加“基本思想”和“基本活动经验”，出现既有演绎能力又有归纳能力的培养模式，就必将会出现“外国没有的我们有，外国有的我们也有”的局面，那一天，我们就能自豪的说，我国的基础教育领先于世界。,接受学习与探究发现学习 有意义的接受学习的先进性是知识效率高、易控制。其局限性是学生的主动性、独立性、创造性未能充分体现。而发现学习的先进性是能激发学生的内在动机、培养对数学的兴趣，建立自信，能培养学生的探究精神和问题解决能力。其居限性是

14、知识容量小、效率低、难控制。 有意义的接受学习是中国数学学习的优良传统，要保持。学校数学的多数内容适合于接受学习。启发式的讲授教学仍然是数学教学的主要形式。我们反对的是机械的接受学习（如死记硬背、题海训练、能力技巧化等倾向).,发现学习是培养学生提出概念、发明创造的有效手段，我们应毫不迟疑地予以加强。 但并非所有的内容都适合于发现学习，发现学习只是接受学习的有益补充。学生不一定理解所发现内容的实质，发现后的同化理解十分必要。杜绝形式主义的低效率的机械发现学习。,有关教育开课的两则寓言 新加坡李秉彝教授的一则关于数学改革的寓言，说的是非洲有一个民族，一向居住在一种木屋内，晚上燃火照明。后来，“欧

15、洲人”来了，告诉他们电灯比燃火照明要文明的多。于是，所有的木屋都装上了电灯，开始大家说都好，但是数年后，所有木屋忽然都倒塌了。 原因何在？原来每天燃火时会冒烟，烟把各种昆虫赶出屋外，现在使用电灯，没有烟熏，昆虫大量繁殖，屋顶被昆虫破坏，木屋轰然倒塌。,寓言告诉我们：那个非洲民族原来的生活方式，尽管原始，却是十分的和谐。电灯当然更为先进、文明，但是引进先进的技术，必须和原来的环境相适应，要用好电灯，则必须采取防虫、除虫措施。不然，好事会变成坏事。 正如电灯之于木屋，西方的教育理念也许很先进，但是未必都适合现代的中国，至于西方的有些观念，本来就未必十分科学，我们更应该仔细分析，有所选择。目前在教育

16、改革过程中，这样盲目引进推广的理念，后果堪忧。,另一则寓言取自李瑞环的学哲学、用哲学一书，其中有一个故事是“老妇和茶山”，说的是老妇将一个用了多年的宜兴茶壶到老街上卖。茶壶内有茶山（垢），能够不放茶叶就有茶香，开价5钱，一买主愿出三两银子买下，但身边未带钱，嘱咐老妇等半个时辰后取钱再来买，老妇好心，觉得买主肯出大价钱，应该将茶壶用沙子把茶壶的里外洗干净才好。半个时辰以后，那买主一看，茶山已经没有了，不要说3两银子，连5钱银子也不愿意买茶壶了。,有的传统文化像茶垢，看上去其貌不扬，贸然改掉，损失很大，例如中国的数学双基教育，有些人看不起，往往把它与“死记硬背”、“重复演练”、联系在一起，可是一旦

17、丢掉了这些优良传统，中国的数学教育也就失去了原来的价值。 盲目引进国外教育理论，丢弃自己的优良传统，是很危险的。,双基文化、考试文化、华人学数学。 国际数学教育大会分会报告。,国外引进的教育理念和中国实际的结合不够 国外的数学教育理念，正在克服面性，在两种对立的教育理念中寻求平衡。这再一次表明，真理在两个极端之间。同样我国的数学教育，需要我们释放自己的教育潜质，运用我们的教育智慧，遵循规律，努力实践，求得平衡。平衡，是为了更好地前进。任何改革，总是波浪式地前进，有波涛汹涌的高潮，也有风平浪静的低潮。必要的调整，是为了更好地前进。进两步，退一步， 还是前进了一步。冒进固不足取，倒退更没有出路。,

18、著名数学教育家斯法德所指出的,“当一个理论转换成教学上的规定,唯我独尊就会成为成功的最大敌人.教育实践有一个过分的偏好,希望得到极端的、普适的秘诀经常被转换成对说教式教学的完全禁止, 成为一个全面采用合作学习的 指令,认为所有的不是基于问题的、不在真实生活情境脉络中的教学都是不正确的理论上的唯我独尊和对教学的简单思维,肯定会把哪怕是最好的教育理念搞遭”.,降低内容标准,在普及基础教育的背景下，要特别防止降低内容标准的偏差。一段时间以来，“大众数学”被广泛宣传，而且被用来指导数学课改。因为讲平等，让所有人都有机会学数学，因此某些人认为必须降低数学课程的难度，我国当前初中数学课程就出现了降低代数运

19、算和平面几何推力论证要求的局面.随着改革的发展，人们发现为了使数学能被一般大众所接受而简单地降低内容难度，不但导致大众数学水平的整体下降，而且还是数学杰出人才的培养受到极大冲击。显然，数学课程不能以“人人学会”为理由，否则将是没有终点的退却。,存在去“数学化”的倾向 “去数学化”指，数学教育只讲“教育学”，“心理学”规律，忽视教育本质的揭示。“教什么永远比怎么教重要”，正如，“吃什么永远比怎么吃重要”。,案例:某教师在“随机事件的概率”引入课上,创设了如下现实情境: 在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前,在大西洋上

20、英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护卫舰,一时间,德军德“潜艇”搞得盟军焦头烂额.,为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家运用概率分析后认为,舰艇与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学的角度来看这一问题,它具有一定的规律性.建议美军海军将舰队的编队规模增大.美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定的港口.结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25下降为1,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.你知道是什么原因是盟军舰艇遭袭被击沉的概率减少吗?,误区之一:科学错误 案例:“幂的意义”的教学

21、过程中,某教师引入了如下的问题情境：探求将一张白纸,对折30次的厚度(一纸的厚度约为7.510-5m). 案例分析: 这是一个流传很广的现实问题情境的案例.当时在我心灵上的确受到强烈的震撼.然而,我总有点将信将疑,亲自动手折纸,发现-不要说对折30次,就是对折六、七次就感觉折不下去了.纸是有厚度的,物理学原理告诉我们,这种对折操作只能进行10次左右.由于违背了科学道理,这种实际操作型的现实情境仅能看成是一种数学思想实验;如果不加以说明,在实际教学中难免会受到学生的质疑,这也使得它“贴近生活”的教学效果打了较大的折扣.,牵强附会,误区之二:偏离实际 王为峰：初中数学公开课的若干思考中学数学教学参

22、考(20004-11) “同学们,唐僧师徒经过九九八十一难取得真经后,佛祖要奖励他们,在奖励之前,佛祖再考悟空.题目是: 已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,并且AE=CF,求证:四边行ABCD是平行四边形.你能替悟空来解答这个问题吗? ”教师的问题提出之后,多数同学并没有关心本问题用现有的知识能否解答?如何解答?而是谈论起西游记中的有关故事河人物,令执行教师十分尴尬.坐在我附近的一位同学没有参与故事的讨论,我问他,你在想什么?他说,那个时候有这样的问题吗?回答的神情却好象是说老师在瞎编.是同学们对西游记太感兴趣?还是老师把悟空和几何题强行捆在了一起?或许二者都有吧.总之,这一“情

23、境的创设”违背了执教者的初衷.,案例:在讲授“对称方法求最短路程”时,某教师创设了这样的现实情境:“在一条河的一侧的B地仓库着火了,住在与仓库同侧的A地居民们马上拿着水桶到河边提水奔向B地救火.请做出居民救火的途径.”接着教师开始引入课题 案例分析: 这个问题看似和古老的“将军饮马”问题相同,知识换了不同生活背景,于是,教师也就当然地作为对称法解题地问题的情境.然而不免有学生会想,该问题应首先考虑如何在最短的时间内把火扑灭,而不是考虑所走的路程最短.在现实生活中,人们提着空水桶与提着满水桶跑的速度一般不同,这就影响着人们救火的时间.所以说,这个现实情境与实际生活并不相符,如果人为地强化为“找对

24、称点求最短途径”问题,那么定将挫伤部分同学的学习感情,同时也不利于学生创新意识的培养.,南京大学哲学系郑毓信教授认为： 数学课程改革应当由“形式的追求”（即重视对某些新的教学形式，如合作学习与学生主动探究等的积极提倡）转而更为重视相关的实质问题，并能通过积极的教学实验与深入的理论研究不断取得新的进步。 情境设置，在很多情况下似乎都只是起到了一种“敲门砖”的作用，尽管这一做法一定意义上也可被称为有利于调动学生的学习的积极性，并可以帮助学生更好的认识数学的意义。但是某些课例又不能不说在这一环节上花了过多的精力和时间。,情境设置不仅仅要起到“敲门砖”的作用，而且还应当随思维过程中自始自终地发挥重要的

25、导向作用，即应当成为相关学习活动的“认识基础”。,徐利治先生认为： 教材要力求“纯”，切忌教材教学内容中杂质太多，。理论联系应用是对的，但是很多应用题联系到社会、联系到股票市场,那专门的名词要弄懂以后才能做数学题目。为了这个题目，就要去了解那些与数学无关的东西，那些东西我觉得放在教材中就变成数学教材的杂质，杂质有什么坏处呢？分散精力，分散注意力。我听说中学老师对那些名词都弄不明白，要解释半天，这种联系实际是让学生学经济科学呢，还是学生产实际呢？所以不应该有杂质。,我们以前所学的数学，大代数也好，平面几何也好，没有杂质。所以，第一要纯，让青少年学很纯的数学，有的人说数学是枯燥无味的，其实不见得，

26、数学本身是优美的，几种形式，对称性、统一性、普遍性。杂质太多，把数学美都冲散了、瓦解了、分散掉了。不应该让青年在数学学科里分散注意去搞那么一堆与数学无关的名词、概念。因为青少年思维发展过程是从具体到抽象，从感性到理性。这个过程是发展的。,我学数学的人生总结，真正数学学好的 人都 有这样类似的体会： “兴趣使人忘却疲劳；志趣 使人精力持久；乐趣使人精神充实；三趣具备， 自学必有所成，能享健康长寿，且能成为后辈存 在的铭记。” “数学是联系联系实际的学科。”两个联系 啊，前面是动词，后面的联系是一个形容词。他 是间接联系，数学实际是间接的。学好了数学， 再去联系实际的话，你的实际能力反而强了。,结

27、论：数学教育必须在继承和改革两个维度上寻 求平衡点，任何极端的做法都将付出沉重 的代价。 有一副对联描述两种极端的教育理念： 茅草房用花岗岩当基础，傻练 黄金屋借毛竹竿做支撑，妄想。,“普通人上普通课”,(2)课程改革的新走向,东北师大 史宁中教授认为： 教育的好坏取决于两条； 第一；是不是有利于学生的发展； 第二：是不是利于国家的发展。 如果既利于学生的发展，又利于国家的发 展，即使苦一点也没有什么了不起的。这个出发 点应当成为大家公认的标准。 好的数学教育应是以创新为内核的数学教育创新能力依赖的三个方面：知识的掌握；思维的训练；经验的积累。,一个18岁之前连一个问题都没有认真思 考的孩子,

28、是不可能成为创新型人才的。所以 基础教育阶段应培养学生的创新意识和创新能 力。 思维的训练只要靠两个能力:一个是演 绎能力,一个是归纳能力.爱因斯坦说过:西方 科学的发展是以两个伟大成就为基础;希腊哲 学家发明的形式逻辑体系(欧几里德几何中), 以及通过系统的实验发现有可能找出因果关 系(在文艺复兴时代,特别是工业革命以后). 前者指的是演绎能力,后者指的是归纳的能力.,关于这一点杨振宁先生有深刻的体会,他在我的生平中说“我很有幸在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作,我在中学学到了演绎能力,在美国学到了归纳能力.” 不经过思考的不是数学.数学不是技能训练,一定程度的训练是必要的,但过分强调

29、就会走反面.,“知识在本质上是一种结果,可能是经验的结 果,也可能是思考的结果.”单纯追求知识的教 育是一种结果的教育.这种教育要走在时代的前 列是不可能的.“智慧并不表现在经验的结果上, 也不表现在思考的结果上,而表现在经验的过程 上,表现在思考的过程中.”“智慧表现于对问题 的处理,对危难的应付,对实质的思考,以及对实 验的技巧等等.” 世界上有很多东西是不可传递的,只能靠亲 身经历.比如智慧.智慧并不完全依赖知识的多让 少，而依赖知识的运用、经验，你只能学生在 实际操作中磨练，自己去感悟，去积累反思。,19世纪50年代，英国哲学家波兰尼提出“我们所知道的多于我们所能言传的”这样一个我们有

30、着共识而又被忽略的命题。据此，根据知识的外化程度，可以将人类头脑中的知识分为可以言传的明确知识和不可以言传的默会知识。 明确知识是回答“是什么”、“为什么”等问题的知识，因而主要是有关事实和原理的知识。这些知识可以通过文字进行表述，因而可以存于书本，并且知识内容之间存在一定的逻辑关系，并通过这些逻辑关系组成层次分明、逻辑清晰的知识体系，因而明确知识具有可编码的特性。当然，这样的知识也比较容易进行交流和传递，具有可传递性和可反思性等特性。,默会知识,默会知识回答的主要内容是“怎么想”、“怎么做”等问题，如面临一个实际问题情境将如何思考解决问题的策略，教师如何在具体教学实践中把握教学原则等。它们设

31、有一个绝对的办法，更多的在于个体自身的一种领域，因而默会知识本质上是一种理解能力和领悟能力，同时存在于个人经验体验之中。因此默会知识具有显著的特征：默会知识镶嵌于实践活动之中的，是情境化的和个体化的，常常是不可言传的；默会知识是不能以正规形式加以传递的；默会知识是不能被加以批判反思的。,默会知识远远多于明确知识。明确知识和默会知识就像一座冰山的两个部分，前者浮出海面，后者在下面托起这座冰山，可用下图表示关系。,这个模型既适用于个体也适用于人类全体。从这个知识冰山的模型可以发现，个体或人类的明确知识是这个冰山的“一角”，而隐藏于海面之下的最大的山体默会知识才是这座冰山的主体。只有借助于默会知识的

32、力量，个体或人类所有的明确知识才得以发生和发展。知识创新才有根基，对于人类的进步和个体的发展，默会知识才有更为重要的作用。,默会知识对于培养学生的创新精神和实践能力具有不可代替的作用，“科学的创新根源于默会的力量”。 我国过去过于关注明确知识的传授，关注系统的学科知识的教学，相对忽视了学生默会知识的发展，因而学生的实践能力和创新意识相对低下。因此，在新课程的实践过程中，关注学生默会知具有极大的现实意义和深远的历史意义。,顾浍沅先生提出知识传承和创新出现的四种模式： 意境书本知识，听课为主； 意会实践经验，做中学； 内化明确知识的融会贯通； 外显默会知识逐步清晰化。,张奠宙先生曾经说过:“数学教

33、学”的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验。这里所说的数学本质，即包括数学概念、定理、方法、等明确知识。其实更重要的往往是“不可言传”的默会知识。,概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习，而是要帮助学生获得概念的心理意义，即形成概念内涵的心理表象，或者说建构起良好的概念图式。 良好的概念图式是由一系列反应概念本质属性的观念组成。比如， 的教学本质是帮助学生建构起认知图式。“ 是一个数；它不会是负的；它的平方等于a；在数轴上它可能是原点也可能是在原点的右边； 和x都是表示一个数的符号，他们没有什么不同？,数学基础与数学创造 概念教学的本质,获取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化。概

34、念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。这是一种发现学习的过程。概念的同化是指学习者利用原有认识结构中的观念来理解接纳新概念的过程。这是一个接受学习的过程。无论是通过概念的形成方式还是通过概念的同化方式来获得概念，其最终目标都是掌握同类事物的关键属性，使学生在头脑里建构起良好的概念认识图式。,原理教学的本质 数学中的原理指的是数学公式和法则、定理和性质。原理有主客观两个方面的含义：语言符号信息，它是对概念之间的关系的描述；从心理意义上说，它是一种叫做“若，则”产生式的操作反应系统，即主体在特定的情境中根据各种关系做出相应的反应。例如，习得勾股定理产生式的主体，

35、一见到直角三角形刺激，就做出了两短边的平方和等于长边的平方的心理反应。,原理学习的本质是 学习一些概念之间的关系;原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的产生式，只要条件信息已满足，相应的行为反应就自然出现。学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题。习得原理不是孤立得掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理网络。,教会学生创新 学生从下面10个方面去提问题： “假如”的问题：对一个假设的情境加以思考。列如，假如在多一个条件，就会？假如过已知直线外一点可作两条直线与已知直线平行，那么就推出了？ “列举”的问题：列举出符合某一条件或特性的事、物，越多越好。例如，请列举出与平方差

36、公式有关的运用。 “比较”的问题:比较两个对象的异同。例如，a与a有什么异同？,“替代”的问题：用其它对象取代原来对象。例如，这个条（元）件可以用什么条（元）件来替代？ “除了”的问题：寻求突破常规想法。除了现在这个结果、方法、用途之外，还有其它什么情况？此问题除了这种解法外,还有什么解法？ “可能”的问题：联想推测事物可能出现情况。如为什么会出现这种现象,可能原因有哪些？ “想象”的问题:充分想象未来的事物。例如，想象纳米机器人进入人体后会发生什么？ “组合”的问题:将一些对象（字词、事物、图形等）重新排列组合成另外有意义的材料。例如用这几个条件你能编什么问题？,“六W”的问题：Who？Wh

37、at？Why? When ? Where? How?例如启发学生写有关植树节作文的思路：为什么栽树？在什么树？栽在哪里？什么时候栽？谁来栽？怎么栽？启发学生写研究论文的提纲：复数是谁发明的？是怎么样发明的？为什么要发明复数？用来做什么？什么时候用？用在哪些地方？,“类推”的问题：将两个对象直接 类比，推出新的结论。例如，将洗衣球比拟为 人，我们可以来写一篇“洗衣球上学历险记”。 观察6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7， 14=3+11=7+7,16=5+11=3+13,18=5+13,由此 我们可以类推出（歌德巴赫）猜想：每个不小 于6的偶数都是两个奇素数的和。 提出问题，那么

38、你就会有很多好点子，你也就能做出不同凡响的创新。不怕做不到，就怕想不到！ 老年人下去,数学教育的出路 人民教育出版社的章建跃博士，在寻求中国数学教育出路的征途上，提出了比较理性、具体和切实可行的方案。提出了数学教育改革创新的4种做法，即：“亲和力以生动活泼的呈现方式，展示数学发展的过程，激发兴趣和美感,引发学习激情; 问题性以恰时恰点的问题引导数学活动,培养问题意识,孕育创新精神; 思想性 加强数学思想方法的渗透与概括, 引导学生领悟具体内容所反映的数学思想; 联系性 通过不同数学内容的联系与启发,强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用,学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培养理

39、性精神。,在数学教育改革浪潮中，不断涌现出了一系列新概念、新思想、新称呼，这其中比较有特色的是张景中院士的从数学教育到教育数学的新理念、新思想、新称呼。他说：数学教育已经是一门受到广泛重视的学科。数学教育学的对象是数学教学，而不是数学本身，数学教育学面临的主要问题有：（1）教什么 教学内容的问题； （2）怎样教 教学方法问题。但是，方法与内容又是紧密联系的，肯定了“教什么”，才能研究“怎么教”的问题。,二、数学教育与教育数学,于是，数学教育学要靠数学提供材料。当然，这材料还不是教材。要把材料变为教材，按照教育学的说法必须对材料进行“教学法的加工”。但是，仅仅进行“教学法的加工”是不够的,1.数

40、学教育,教育是大事，未来的高素质的劳动者、科技工作这、医生、工程师、科学家、诗人和将军，都是从学校走出来，数学应当提供“最好”的材料。为了尽可能最好，“在教学法加工”之前，就应当进行数学的加工，数学的再创造。为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造.,为完成这一任务而进行的研究活动，如果发展起来，形成方向或学科，就是教育数学。他还进一步地说明：所谓教育数学，就是为教育而做数学，它和数学教育学有关系，但又不相同，数学教育学着眼于教学法和如何对数学材料进行教学法地加工，是为了数学而做教育，并不承担数学上的创造工作，也就是并不做数学；教育数学则实实在在是要做数学的。,主导性 胡锦涛同志在2006年两

41、院院士大会上讲话提出:“在尊重教师主导作用的同时,更加注重培养学生的主动精神.鼓励学生的创新的思维.” 总书记正面提出“教师的主导作用”,而且要加以“尊重”,令人振奋,发人深思. 教师在教学中的主导作用,是一个客观的事实, 教学内容的选择,教学过程的设计,教学成果的评价,都是教师为主确定的.杜威倡导的“以学生为中心”,搞“教育即生活”,证明是失败的，至少不符合中国国情.,2.教师的角色,总书记重提“教师主导作用”,并不是简单地回到过去.而是与时俱进,提出了新的要求,用“更加注重”四个字强调培养学生的主动精神,鼓励学生的创新思维.这就为在新时期如何发扬教师主导作用指明了方向. 实际上, 教育的真

42、理并不是在一种事情的两端,而时在中间地带的某个平衡点.有所调整是可以的,全盘丢弃是不可取的. 郑毓信认为:我们不仅应当积极鼓励学生的主动精神,而且也应明确肯定教师在这一过程中应当发挥重要的特定作用.,著名数学教育家费赖登塔尔: 没有一种数学的思想，像它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧.结果，把求解的过程丢在一边，使得火热的发现变成冰冷的美丽。我们呈现给学生的，往往是这样一种美丽而冰冷的数学，火热的思考被淹没在形式化的海洋里。 华南师大何小亚认为:“数学教学的本质是学生在 教师的引导下能动地建构数学认知结构，使自己得到全面发展的过程。”,引导性,华东师

43、大张奠宙教授认为： 数学的教育目的之一，是要把数学知识的学术形成转化教育形式。数学教育首先关心的就是这些问题，就是把学术形态的数学变为教育形态的数学。 教育数学是教学的教育状态教学有上种形态：原始形态、学术形态和教育形态。 原始形态是指数学家发现数学真理、证明数学命题时说进行的繁复曲折的数学思考。他具有后人效仿的历史价值。,学术形态，是指数学家在发表论文时采用的形态：形式化，严密地演绎，逻辑地推理。他呈现出简洁的、冰冷的形式化美丽，却把原始的、火热的实现淹没在形式化的海洋里。 教育形态：是指通过老师的努力，启发学生高效率地进行火热的思考，把人类数千年积累的数学知识体系，使学生容易地接受。把数学

44、的学术形态化为教育形态，是所有数学教师的责任。,吴文俊院士在获得2000年度国家最高科学奖后答记者问时，他动情地说： “小时候，我对数学并没有多大的兴趣，在大学二年级时，还曾一度对数学失去信心，甚至还想辍学不念，是一位姓武的老师的精彩授课，使我改变对数学的看法，对数学的兴趣发生了几何级数的跳跃，最终把数学研究确定为终身职业”。,教材要有开放性和弹性. 在合理安 排基本课程内容的基础上，给地方、学 校和教师留有开发选择的空间，也为学 生留有选择和拓展的空间，以满足不同 学生学习和发现的需要. 因此，教师应 创造的使用教材，来培养学生的综合运 用能力，而不是教教材.,课程标准中提出：,第二部分 教

45、学素材的组织和呈现,数学教学素材是指教学要素的资源. 从广义上讲，它指数学教学过程的组 织、实施可利用的一切资源其中包括课程标准、教科书、各种教辅用书、 网络资源、报刊、杂志和社会生活中所有有助于提高数学教学质量的素材资源 从狭义上讲，是指具体课堂教学呈现的有效素材，是某一节课呈现的具体素材，是直接为学生课堂学习服务的载体.,一、数学教学素材的要义,二、数学教学素材的结构与内容,教学理念隐形素材 知识本位；学科本位；尊重学生的发展；,教学目标既是隐形，又是显形素材 教学活动预期达到的结果。长、宽、高,知识与技能目标 （了解；理解；掌握；灵活运用）,过程性目标（经历（感受）；体验（体会）；探索）

46、,知识与技能；数学思考； 解决问题；情感态度与价值观。,具体体现在四个维度上：,课堂教学过程呈现的素材显性素材,是教学的内核直接体现教学理念，决 定教学方法，关系学生发展，影响教学质量,教学理念隐形素材,教学目标既是隐形，又是显形素材,二、数学教学素材的结构与内容,三、教学素材的特点,1科学性 内容科学，表达精炼，语言简洁，图表 规范，数学语言准确，不出现科学性、知识 性、技术性错误.,2开放性 教学素材不应只局限于教材，而应开放的 吸收和组织对教学所有有用的一切信息和素 材资料它们在内容、空间、形式都具有开 放性.,三、教学素材的特点,1科学性,2开放性,3动态性 课程，教材内容应随政治、经

47、济、教育宏观环境和微观背景而不断发生变化，不断积累和产生新的背景素材.,三、教学素材的特点,1科学性,2开放性,3动态性,4适切性 组织和呈现的素材应该是学生熟悉的， 可以理解的应符合学生年龄特点、知识 水平及生活经验，组织和呈现的教学素 材，涉及的知识要符合数学课程标准. 符合自己的教学风格，反对拿来主义,4从实验操作中提炼教学素材,四、组织和呈现教学素材的途径和方法,1从生活中提炼教学素材（同类项）,2从教科书中提炼教学素材（分式方程）,3从古典名题中提炼教学素材（鸡兔同笼）,数学实验是为了获得某些数学知识，形成或检验某个数学猜想，解决某类数学问题，运用有关工具（如:纸张、剪刀、模型、测量

48、工具、作图工具以及计算机（几何画板）等)，在数学思维活动中进行的一种人人参与的，以实际操作为特征的数学探究式验证活动. 开展数学实验，能有效的促进学生学习方式和思维方式的转变. 例如：在学生学习了菱形，正方形的性质和判定后，可设计如下实验：如何利用折纸，剪切的方法，既快又准的剪出一个菱形纸片？如何才能剪出一个正方形纸片？剪好后，展开看看，并说说为什么这样剪就分别剪出了一个菱形和正方形.,分析:,若AC=BC,则为正方形.,C,B,A,再如:马明先生的多边形内角和与外角和的教 学案例,彰显了数学实验的教学魅力.,队列变换,再如:,五、组织和呈现教学素材的注意点,1情境的设计,杨裕前先生认为好的情

49、境是: 情境是学生熟悉的； 情境是简明的； 情境是不影响教学本质的. 延伸性 关于“教学情境创设”的问题，并不是所有的课都需要有“生活情境”来引入.也就是“生活情境”、 “数学化”、 “建模”并不是万能的.否则课改又走入到另一个“千课一面” “千课一法”的极端.而有的课更适合用“复习旧知”来引入新课.例如“用因式分解法解一元二次方程”， “有理数的混合运算”等.,案例1: “三角形的内角和”的教学. 李大潜院士认为: “老是量，就退到尼罗河时代去了”. 三角形内角和价值在于理性思维. 案例2: “用字母表示数”的教学. 呈现大量的图片、会徽、标志,有“喧宾夺主”之嫌，有“流行病”之状. 其核心是“两种语言的互译”. 双基要求:示范、纠错、练习. 新的教学:自主、探究、合作. 哪种有效？ 只代表，不运算，没有价值. 项武义教授: “文字代表数的本质是不定元和数字享有同等权利进行相同的运算.”,现象:过于注重形式，淡化数学本质； 过于追求活跃，忽视教学绩效.