第2讲空间向量与立体几何共线向量与共面向量定理.ppt

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1、第2讲 空间向量与立体几何 1.共线向量与共面向量定理 （1）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量. （2）平行于同一个平面的向量叫做共面向量. （3）共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b0),ab的充要条件是存在实数 ，使a= b. （4）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线， 则向量p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对 (x,y)，使p=xa+yb.,2.空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

2、, a=( a1, a2, a3), ab=a1b1+a2b2+a3b3, ab a= b a1= b1,a2= b2,a3= b3( R), ab ab=0 a1b1+a2b2+a3b3=0. 3.模、夹角和距离公式 （1）设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|=,cosa,b= (2)距离公式 设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2), 则dAB= . (3)平面的法向量 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a . 如果a ，那么向量a叫做平面 的法向量. 4.直线与平面、平面与平面的平行与垂直 设直线l，m的方向向

3、量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2, c2).平面 、 的法向量分别为 =(a3,b3,c3), v=(a4,b4,c4)（以下相同）.,(1)线面平行 l a a =0 a1a3+b1b3+c1c3=0. (2)线面垂直 l a a= a1= a3,b1= b3,c1= c3. (3)面面平行 v =kv a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4. (4)面面垂直 v v=0 a3a4+b3b4+c3c4=0. 5.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). 平面 、 的法向量分别为 =(a3

4、,b3,c3), v=(a4,b4,c4)（以下相同）.,(1)线线夹角 设l，m的夹角为 (0 )，则 cos (2)线面夹角 设直线l与平面 的夹角为 （0 ）, 则sin = =|cosa， |. (3)面面夹角 设平面 、 的夹角为 （0 ）, 则|cos |= =|cos ,v|.,一、利用向量证明线、面的平行与垂直 例1 如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC为等腰直 角三角形，BAC=90，且AB= AA1， D、E、F分别为B1A、 C1C、BC的中点. 求证： （1）DE平面ABC； （2）B1F平面AEF. 思维启迪 可利用线面平行的判定定理和线面垂直的 判定

5、定理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用 向量的坐标运算来解决.,证明 如图建立空间直角坐标系Axyz， 令AB=AA1=4， 则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）. (1)取AB中点为N，则N（2，0，0）， C（0，4，0），D（2，0，2）， DE =（-2，4，0）， NC = (-2，4，0）， DE=NC ， DENC，NC平面ABC， DE平面ABC. 故DE平面ABC.,（2） =（-2，2，-4）， =（2，-2，-2）， =（2，2，0）. =（-2）2+2(-2)+(-4)(-2)=0, 则 ,B1FEF, =（-2

6、）2+22+（-4）0=0. ，即B1FAF， 又AFFE=F，B1F平面AEF.,探究提高 （1）证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行. （2）证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明. （3）证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明.,变式训练1 （2009长沙试题调研）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点. 求证：（1）B1D平面ABD

7、； （2）平面EGF平面ABD. 证明（1）如图所示，以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，则A（a，0，0），,所以 =（a,0,0）, =(0,2,2), =(0,2,-2), =0, =0+4-4=0， 即B1DBA，B1DBD，因此B1D平面ABD. （2）E（0，0，3），G（ ，1，4），F（0，1，4），则 =（ ，1，1）， =（0，1，1）， =0+2-2=0， =0+2-2=0， 即B1DEG，B1DEF，因此B1D平面EGF. 结合（1）可知平面EGF平面A

8、BD.,二、利用向量求线线角、线面角 例2 如图，在四棱锥P-ABCD中， PA面 ABCD，ABBC，ABAD， 且PA=AB=BC= AD=1. （1）求PB与CD所成的角. （2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值. 思维启迪 本题中给出的几何体易于建立空间坐标 系从而利用“向量法”解决线线角、线面角等夹角 问题.,解 建立空间直角坐标系如图所示， （1）PA=AB=BC= AD=1， P（0，0，1），B（1，0，0）， C（1，1，0），D（0，2，0）， =（1，0，-1）， =（-1，1，0）. cos ， = =- . ， =120， PB与CD所成的角为60. （2） =（

9、0，2，-1）， =（0，0，1）， =（1，1，0）， 设m=（x,y,z）是平面PAC的一个法向量,z=0 x+y=0 取x=1，则m=(1,-1,0), 设直线PD与面PAC所成的角为 ， sin = 0, ,cos = . 即直线PD与面PAC所成角的余弦值为 .,则,，即x=-y,z=0，,，即,探究提高 （1）题目中具备建系的条件，可建立空间直角坐标系，将线线角、线面角转化为两向量的 夹角. （2）求直线与平面所成的角 ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得，即sin =|cos |.,变式训练2 （2009江西文，20）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，

10、PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M. （1）求证：平面ABM平面PCD； （2）求直线PC与平面ABM所成的角； （3）求点O到平面ABM的距离. 方法一 （1）证明 依题设，M在以 BD为直径的球面上， 则BMPD. 因为PA底面ABCD，则PAAB. 又ABAD，所以AB平面PAD，则ABPD.,因此有PD平面ABM， 所以平面ABM平面PCD. （2）解 设平面ABM与PC交于点N，因为ABCD，所以AB平面PCD，则ABMNCD， 由（1）知，PD平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是PC与平面ABM所成

11、的角，且PNM=PCD， tanPNM=tanPCD= 所求角为arctan . （3）解 因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半， 由（1）知，PD面ABM于M，,则|DM|就是D点到平面ABM的距离， 因为在PAD中，PA=AD=4，PDAM， 所以M为PD中点，DM=2 ， 则O点到平面ABM的距离等于 . 方法二（1）同方法一： （2）解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）， 设平面ABM的一个法向量n=(x,y,z), 由,令z=-1,则y=1,

12、即n=(0,1,-1). 设所求角为,则sin = 故所求角的大小为arcsin . (3)解 设所求距离为h，由O（1，2，0），,三、利用向量求二面角 例3 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC， ABDC. （1）设E是DC的中点，求证：D1E平面A1BD； （2）求二面角A1BDC1的余弦值. 思维启迪 （1）可利用线面平行的判定定理； （2）利用平面的法向量或向量求二面角的大小.,方法一 （1）证明 连结BE，则四边形DABE为正方形，BE=AD=A1D1， 且BEADA1D1， 四边形A1D1EB为平行四边形. D1EA1B

13、. 又D1E平面A1BD， A1B平面A1BD， D1E平面A1BD.,（2）解 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）， =（1，0，2）， =（1，1，0）. 设n=（x,y,z）为平面A1BD的一个法向量， 由n ,n x+2z=0, x+y=0.,得,取z=1,则n=(-2,2,1). 又 =（0，2，2）， =（1，1，0）， 设m=(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量，由m ,m 2y1+2z1=0, x1+y

14、1=0. 取z1=1,则m=(1,-1,1). 设m与n的夹角为 ,二面角A1BDC1为 , 显然 为锐角， cos = ，即所求二面角A1BDC1的余弦值为 .,得,cos =,方法二 （1）证明 以D为原点， DA，DC，DD1所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 设DA=a，由题意知： D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), C(0,2a,0),C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a), D1(0,0,2a),E(0,a,0), =(0,a,-2a), =(a,0,2a), =(a,a,0). 又(0,a,-2a)=(a,a,0)-(a,0

15、,2a), = - =,DA1，DB平面A1BD,D1E平面A1BD, D1E平面A1BD. （2）解 取DB的中点F，DC1的中点M，连结A1F，FM，由（1）及题意得知：F ,M(0,a,a), ,FA1DB,FMDB.,A1FM为所求二面角的平面角. cosA1FM= 所以二面角A1BDC1的余弦值为 .,探究提高 利用平面的法向量求二面角的大小和将二面角转化为在两半平面内与棱垂直的两个向量的夹角来求.这两种方法都是利用向量的夹角来求二面角的大小，在求解时要注意两法向量的夹角的大小不一定就是所求二面角的大小，有可能两法向量夹角的补角的大小才为所求.,变式训练3 （2009上海理，19）如

16、图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC =AB=2,ABBC,求二面角B1A1CC1 的大小. 解 如图，建立空间直角坐标系. 则A（2，0，0），C（0，2，0）， A1（2，0，2），B1(0,0,2),C1(0,2,2), 设AC的中点为M，BMAC，BMCC1， BM平面A1C1C，即 =(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.,设平面A1B1C的一个法向量是n= (x,y,z). =（-2，2，-2）， =（-2，0，0），n =-2x=0,n =-2x+2y-2z=0. 令z=1,解得x=0,y=1,n=(0,1,1). 设法向量n与 的夹角为 ,二面角B1A1C-

17、C1的大小为 ,显然 为锐角. cos =|cos |= ，解得 = , 二面角B1A1C-C1的大小为 .,四、利用向量解决立体几何中的探索性问题 例4 （2009南昌模拟）如图所示,平面 PAD平面ABCD,ABCD为正方形, PAD是直角三角形,且PA=AD=2, E、F、G分别是线段PA、PD、CD 的中点. （1）求证：PB面EFG； （2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值； （3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面 EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存 在，请说明理由. 思维启迪 由题意可推得AB、AD、AP两两垂直， 故可以A为原点建立空间直角坐标系解决问

18、题.,（1）证明 平面PAD平面ABCD，PAD为直角三角形 PA 平面ABCD，又ABCD为正方形， PA、AB、AD两两垂直. 以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2）， E（0，0，1），G（1，2，0），F（0，1，1），, =（0，1，0）， =（1，1，-1）， =（2，0，-2）. 设 =x +y =（y，x+y，-y）， y=2， x+y=0， -y=-2., x=-2，y=2.,存在实数x，y使 =x +y ， 、 、 共面，又PB在平面EFG外， PB

19、平面EFG. （2）解 =（1，2，-1）， =（-2，2，0）. 设异面直线EG，BD的夹角为 ，由题意得： cos = （3）解 假设在线段CD上，存在一点Q满足题意， 则Q点坐标可设为（x0，2，0）. 设平面EFQ的法向量为n=（x，y，z），则有 n =0， （x，y，z）（0，1，0）=0， n =0. （x，y，z） （x0，2，1）=0.,即,y=0，z=-x0x，取x=1,n=(1,0,-x0). 则 又x00，x0= ，Q 即在线段CD上存在一点Q满足题意. 探究提高 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行

20、判断.在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.,变式训练4 （2009宁夏、海南理，19）如图，四 棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是 底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：ACSD； （2）若SD平面PAC，求二面角P ACD的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否 存在一点E，使得BE平面PAC.若存在， 求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,（1）证明 连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO平面ABCD，以O为坐标原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴

21、的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示. 设底面边长为a,则高SO= a.于是S（0，0， a）, =0. 故OCSD，从而ACSD. (2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量 平面DAC的一个法向量 设所求二面角为 ,则cos = ，故所求二面角PACD的大小为30.,(3)解 在棱SC上存在一点E使BE平面PAC. 由（2）知 是平面PAC的一个法向量, 而 即当SEEC=21时， 而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.,规律方法总结 1.点共线、点共面的证明方法 （1）点共线 由共线向量定理可知，要证明三点A、B、C共线， 只需证明：ABAC，且ABAC=A. （2）点共面

22、 由空间向量基本定理知，要证P、M、A、B四点 共面，只需证明存在有序实数对（x,y），使 =x +y . 2.空间线面关系的判定 设不同直线l，m的方向向量分别为a,b，不同平 面 、的法向量分别为u,v，则,lmaba=kb,kR; lmabab=0; l auau=0; l aua=ku,kR; uvu=kv,kR; uvuv=0. 3.空间角的计算 （1）两条异面直线所成角的求法 设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为 ，则 cos =|cos |= (其中 为异面直线a,b 所成的角).,（2）直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面 的法向量为n，直线l与平

23、面 所成的角为 ，两向量e与n的夹角为 ，则有sin =|cos |= ，或者sin =cos .,(3)二面角的求法 利用向量求二面角的大小， 可以不作出平面角，如图所示， m,n即为所求二面角的平面角. 对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面 角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹 角来求. 如图所示，二面角 -l- ，平面 的法向量为n1， 平面 的法向量为n2，n1，n2= ，则二面角 -l- 的大小为 或 - .,一、选择题 1.以下命题中，不正确的命题个数为 （ ） 已知A、B、C、D是空间任意四点，则 + + + =0； 若a,b,c为空间一个基底，则a+b,b+c,c+

24、a 构成空间的另一个基底; 对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若 =x +y +z (其中x,y,zR),则P、A、 B、C四点共面. A.0 B.1 C.2 D.3,解析 由向量的和运算知正确. 由a,b,c为空间一个基底， 则a,b,c为两两不共线的非零向量. 不妨假设a+b=x(b+c)+y(c+a), 即（1-y）a+(1-x)b-(x+y)c=0. 1-x=0 1-y=0 x+y=0, 不存在实数x、y使假设成立，故正确. 中若加入x+y+z=1则结论正确，故错误. 答案 B,a、b、c两两不共线，,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达 式： 其中能够化简

25、为向量BD1的是 （ ） A. B. C. D. 解析 中 中 中 中 所以选A.,A,3.A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则BCD是 （ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 解析 DBC是锐角.同理可证DCB，BDC都是锐角. BCD是锐角三角形.,B,4.（2009宁夏、海南理，8）如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1， 线段B1D1上有两个动点E，F且EF= ，则下列结论中错误的是（ ） A.ACBE B.EF平面ABCD C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值 解析 AC平面BB1D1D，又BE平面B

26、B1D1D. ACBE，故A正确. B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运 动，EF平面ABCD，故B正确.,C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故BEF的面 积为定值，又点A到平面BEF的距离为 ,故 VABEF为定值. 当点E在D1处，F为D1B1的中点时, 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得A（1，1，0），B（0，1，0） , E（1，0，1），F（ ）， =(0,-1,1), =（ ）, = . 又| |= ，| |= ，,cosAE，BF= AE与BF成30角. 当E为D1B1中点，F在B1处时，此时E ， F（0，1，1）， = , =(0,0,1), =1,| |

27、= , cos , = ，故选D. 答案 D,5.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱长为a,M,N 分别为A1B和AC上的点,A1M =AN= ,则 MN与平面 BB1C1C的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析 分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x， y，z轴，建立空间直角坐标系. A1M=AN= a， M ，N ，, = . 又C1（0，0，0），D1（0，a，0）, =（0， a，0）， =0， . 是平面BB1C1C的法向量， 且MN平面BB1C1C， MN平面BB1C1C. 答案 B,二、填空题 6.已知四边形ABCD中， =a-

28、2c, =5a+6b-8c,对 角线AC，BD的中点分别为E、F，则 = . （用a，b，c表示） 解析 ,又 , 两式相加，得2 E是AC中点，故 0,同理 0 , 所以2 =a-2c+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c. =3a+3b-5c.,3a+3b-5c,7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ACB=90，AA1=2，AC=BC=1, 则异面直线A1B与AC所成角的余弦 值是 . 解析 以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1（1，0，2）, B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0）， 则 =（-1，1，-2），

29、 =（-1，0，0）， cos,8.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中 点，DEAB于E（如图）.现将ADE 沿DE折起，使二面角ADEB为45, 此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B， 则M、N的连线与AE所成角的大小等于 .,90,三、解答题 9.（2009菏泽模拟）三棱锥被平行于底 面ABC的平面所截得几何体如图所示， 截面为A1B1C1，AA1平面ABC，AA1= ,AB=AC=2，A1C1=1， ， D是BC的中点. （1）证明：平面A1AD平面BCC1B1； （2）求二面角A-BB1-C的余弦值. （1）证明 A1A平面ABC，BC平面ABC， A1ABC. BAC=60，ABC

30、为正三角形，即ADBC.,又A1AAD=A，BC平面A1AD， BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1. （2）解 如图，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0）， C（1， ，0）,A1（0，0， ）， B1(1,0, ), =(-1,0, ), =(-1, ,0), 显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0,1,0), 设平面BCC1B1的法向量为n=（x,y,1）,则 n=0， n=0 -x+ y=0 -x+ =0 cosm,n= 即二面角A-BB1-C的余弦值为 .,x= ,y=1,n=( ,1,1),10.（2009山东理，18）如图，在直四棱 柱ABC

31、DA1B1C1D1中，底面ABCD为 等腰梯形，ABCD， AB=4,BC=CD =2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD， AA1，AB的中点. （1）证明：直线EE1平面FCC1； （2）求二面角BFC1C的余弦值. （1）证明 如图，取A1B1的中点F1， 连结FF1，C1F1，由于FF1BB1 CC1，所以F1平面FCC1,因此平面 FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D，F1C，由于A1F1 D1C1 CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1DF1C. 又EE1A1D，得EE1F1C. 而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1， 故EE1平面FCC1. （2）解 过

32、D作DRCD交AB 于R，以D为坐标原点建立如 图所示的空间直角坐标 系. 则F（ ，1，0），B（ ，3， 0），C（0，2，0）， C1（0，2，2）， 所以 =(0，2，0),=(- ，-1，2), =( ，3，0), 由FB=CB=CD=DF， 所以DBFC. 又CC1平面ABCD， 所以 为平面FCC1的一个法向量. 设平面BFC1的一个法向量为n=(x,y,z), n , n （x,y,z）（0，2，0）=0 2y=0 （x,y,z）（- ，-1，2）=0. - x-y+2z=0 y=0, z= ,则由,得,即,取x=1得,因此n=(1,0, ),所以cos ,n ，故所求二面角的余弦值为 .,返回,