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1、源于少数原理，却结出累累硕果， 这就是几何的骄傲。,牛顿,拓扑和几何的现代发展,欧拉 (1707-1783) 多面体的欧拉公式，组合几何，变分分析，几何与力学，极小曲面。 高斯 (1777-1855) 双曲几何 ( 和罗巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波尔约 (1802-1829)一起 )，高斯曲率的内蕴 定义。 ),高斯(1817),我越来越确信几何的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类而验证。我们或许能在未来领悟到那无法知晓的空间的本质。 我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类。几何和力学却不可分割。,黎曼(1826-1866),在抽象定义的空间上引入黎曼度量 在无穷小
2、近似下就是欧氏几何。然而只在一阶近似下是等同的。 二阶近似由度量的曲率张量来衡量。 导致了几何学的革命。 克里斯托费尔，列维-齐维塔，比安基，发展了这类抽象空间上的微积分。,黎 曼 面,后来人们意识到对二维空间，每个黎曼度量都可以写成 如果引入复数 度量可写成,黎 曼 面,这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯一的。 具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。 此概念应用于计算机图形学。,高斯曲率,黎曼面的高斯曲率为 黎曼面给出称为复流形的首个例子。 问题：如何重新发现度量？ 有一个黎曼面，即给出一个复坐标 z。 有一个定义在黎曼面上的曲率函数 K。,高斯曲率,黎曼度量的曲率,在高维情形，黎
3、曼度量的曲率远不是一个数量函数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的，称为曲率张量。 可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量，称为里奇张量。记为 。 里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。 记为 。,爱因斯坦方程,黎曼几何被爱因斯坦(在格罗斯曼、希尔伯特帮助下)用来描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。 爱因斯坦方程 这里 是物质张量（引力由度量 的全部的曲率张量来描述）。 爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线性理论。（ 是引力位势，是未知量）。,时 空,一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时空有很多的对称性。 因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论无法直
4、接定义。这里包括质量、动量、角动量等。 对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给出了总质量、总动量和总角动量的定义。,正 质 量,一个复杂的问题是在某些合理的条件下,证明总质量是正的。 这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研究三维流形的几何。 萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜想：研究空间中的极小曲面。 后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质量猜想。,求解爱因斯坦方程,广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方程。 物质张量为零 的情形。 黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个闭空间，没有物质却有引力？ 当空间具超对称性时，该问题
5、较容易。,求解爱因斯坦方程,例如, 当空间具复坐标 黎曼度量并可写成 这种情况下，有一个重要的量 有拓扑意义。 由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。 空间容许真空解要求第一陈类为零。,卡拉比-丘成桐空间,第一陈类为零可以在代数意义下验证。 丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想的一部分。 这类空间称为卡拉比-丘成桐空间。 椭圆曲线 也是一个卡拉比-丘成桐空间。 柏拉图多面体和某些卡拉比-丘成桐空间有着紧密地联系。,卡拉比-丘成桐空间,记 X 为一五次卡拉比-丘成桐空间，其由射影空间中的下述齐次多项式定义: 简单地说，X上d 次有理曲线
6、是一个d 次多项式 解 记 是X上 d 次有理曲线的个数。 如何计算 一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中 的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的 。 1998年，连文豪-刘克峰-丘成桐首次给出完整的论证，使问题得以最终解决。,卡拉比猜想的解决,卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度 量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。 最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形 变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。 可证明一个基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：对于代数曲 面S, 是曲面的欧拉数， 和曲面的拓扑指标有关。 该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑
7、限制。,全纯1-形式,受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德拉姆，霍奇，小平邦彦发展了流形上的调和形式理论，将流形上的分析与整体拓扑联系起来。 例子，在闭曲面上，每个环柄给出一个全纯1-形式。其给出了在曲面上构造正交网的一种方法。,性质：三角剖分和分解 相互独立,大范围分析的发展,霍奇理论的发展在代数几何中引入了基本的分析工具。 黎曼-洛赫公式和阿蒂亚-辛格指标公式被用来解决 代数几何以及量子场论中的基本问题，影响深远。 在过去的三十年中，量子理论和量子场论对几何学也有着重要的启发。,杨振宁-米尔斯理论,杨振宁-米尔斯理论也将非线性理论带入几何学。唐纳森理论给出四维流形拓扑研究的重要意义。
8、对埃米特型杨-米尔斯联络的唐纳森-乌伦贝克-丘成桐定理给出代数几何的一个新工具。 许多重要的非线性微分方程在现代几何学中变得非常基本 平均曲率流 调和映照 里奇流 (哈密尔顿方程 ) 这些方程的超对性形式正变得重要 非线性理论非常依赖于对线性理论的深刻理解。双曲方程的线性理论还没有被很好的理解。,弦理论,这些方法已经大量应用于现代弦理论。 几何对量子场论的研究卓有成效、神奇非凡。 微分方程在代数和代数几何中也导致深刻的结果 有着同样的神奇性。 数学和大部分物理可以认为是几何的一部分。,讨论,我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙构成的最好语言。 在21世纪，我们将无法区别下面的学科： 物
9、理学：量子力学，广义相对论，弦理论。 几何学：示性类，指标公式。 算子理论。 非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程。 拓扑、代数几何、数论。,基本原理,通过数学上的复杂的计算，基本原理应用于 应用学科。 几何现象，统计现象，非线性方程，非线性 离散现象，等等。 从应用学科中抽象出普适方法，演化成数学 学科。 基本原理。,我毫不犹豫地说，数学家值得为自己的天空去耕耘，值得为了那些在物理学中没有应用的理论去研究。,庞加莱,数学家就象法兰西人，无论你对他们说什么，他们总是翻译成变得完全不同的，自己的语言。,歌德,数学研究介乎物理、文学与工程之间。 物理所以见其真也， 文学所以见其美也， 工程所
10、以见其用也。 而三者相通。 以下引文心雕龙论文学之道：,体 性 夫有天资，学慎始习，斫梓染丝，功在初化， 器成彩定，难可翻移。故童子雕琢，必先雅制，沿 根讨叶，思转自圆。八体虽殊，会通合数，得其环 中，则辐辏相成。故宜摹体以定习，因性以练才， 文之司南，用此道也。,人之秉才，迟速异分，文之制体，大小殊功。相 如含笔而腐毫，杨雄辍翰而惊梦。桓谭疾感于苦思， 王充气竭于思虑, 张衡研京以十年，左思练都以一纪； 虽有巨文，亦思之缓也。淮南崇朝而赋骚，枚皋举应 诏而成赋，子建援牍如口颂，仲宣举笔似宿构，阮瑀 据案而制书，祢衡当食而草奏；虽有短篇，亦思之速 也。,神 思 夫神思方运，万塗竞萌，规矩虚位，
11、刻镂无形，登山则情满于山，观海则意溢于海，我才之多少，将与风云而并驱矣！方其搦翰，气倍辞前，暨乎篇成，半折心始。何则？意翻空而易奇，言征实而难巧也。 是以意授于思，言授于意，密则无际，疏则千里，或理在方寸，而求之域表；或義在咫尺，而思隔山河，是以秉心养术，无务苦虑。,通 变 夫设文之体有常，变文之数无方，何以明其然耶？ 凡诗赋书记，名理相因，此有常之体也。文辞气力，通 变则久，此无方之数也。名理有常，体必资于故实，通 变无方, 数必酌于新声。故能骋无穷之路，饮不竭之源。 然绠短者衔渴，足疲者辍途，非文理之数尽，乃通变之 疎疏耳。故论文之方，譬诸草木；根干丽里土而同性， 臭味晞阳而异品矣！,赠言河南大学数学所 以天为师 可以明天理 参造化 以人为师 可以致良知 识进退,谢 谢！,