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1、第3章 不定积分,3.3 几类特殊函数的积分法 3.3.1有理函数的积分法 3.3.2 三角有理式的积分法 3.3.3 简单无理函数的积分法 3.3.4 积分表的使用,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,2,1、有理函数,由两个多项式的商表示的函数.,3.3.1 有理函数积分法,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,3,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,如,难点:,将有理函数化为部分分式之和.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,4,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,2、化有理函数为最简
2、分式之和,特殊地：,分解后为,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,5,（2）分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,6,3、化真分式化为最简分式之和的待定系数法,例1,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,7,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,8,例3,整理得,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,9,例4 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,10,例5 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,11,说明：,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情
3、况：,多项式；,讨论积分,令,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,12,则,记,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,13,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论:,有理函数的原函数都是初等函数.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,14,1、三角有理式,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,3.3.2 三角有理式的积分法,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,15,2、万能置换公式,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,16,例6 求不定积分,解,由万能置换公式,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,17,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,18,例7
4、求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,19,另解,修改万能置换公式,令,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,20,再解,可以不用万能置换公式.,注意：“万能置换”并非最佳置换方法，因此,在三角有理式的积分中，应优先考虑其它技巧,性的方法.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,21,例8 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,22,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,23,例9 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,24,3、特殊变换,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,25,例10 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,2
5、6,例11 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,27,原式,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,28,例12 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,29,注意：任意多元函数均可分解为关于某个变量的一个奇函数和一个偶函数的代数和形式.,30,例13 求不定积分,解,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,31,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,32,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,3.3.3 简单无理式积分法,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,33,例14 求不定积分,解 令,3.3 几类特殊函数的积分法（55
6、）,34,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,35,例15 求不定积分,解 令,说明：无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,36,例16 求不定积分,解,先对分母进行有理化,原式,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,37,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：先化为真分式！）,三角有理式的积分（万能置换公式）.,（注意：万能置换慎用！）,3.3.5 小结与思考题,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,38,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,39,思考题解答,分解后的部分分
7、式必须是最简分式.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,40,课堂练习题,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,41,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,42,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,43,课堂练习题答案,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,44,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,45,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,46,（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.,（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.,（4）不定积分公式表见高等数学B上册 （北师大数科院蔡俊亮等编）附录(II).,（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果.,3
8、.3.4 积分表的使用法,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,47,例16 求,（含有 ）,在积分表（一）中查得公式 4.,现在,于是,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,48,例17 求,（含有三角函数）,在积分表（五）中查得此类公式有两个,选公式 19.,将 代入得,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,49,例18 求,在积分表（三）中查得公式 31.,将 代入得,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,50,例19 求,在积分表（五）中查得公式 7.,利用此公式可使被积正弦函数的幂减少两次, 重复使用该公式可使正弦函数的幂继续减少, 直到降为0或1，求出结果. 此公式叫递推公式.,现在为 情形，,于是,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,51,对积分 使用（三）中的公式 5.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,52,说明：,初等函数在其定义域内原函数一定存在，,如，,但原函数不一定都是初等函数.,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,53,利用积分表计算下列不定积分：,课堂练习题,3.3 几类特殊函数的积分法（55）,54,课堂练习题答案,