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1、插值与曲线拟合,第一节:插值,插值的目的,已知三角函数表,查 9020,求函数近似表达式及近似值,一、拉格朗日型插值,1、线性插值,已知数据表,x0 ，x1称为插值节点，线性插值多项式（线 性插值函数）为,其中,线性插值基函数,满足:,例1、已知数据表,解：,基函数为,写出 f(x) 的线性插值函数 , 并求 f(1.5) 的近似值。,线性插值函数为,且 f(1.5) L1(1.5) = 0.885。,二次插值多项式（插值函数）为,二次插值基函数,2、二次插值,已知数据表,满足,于是，易得：,n次插值多项式（插值函数）为,3、n 次插值,已知 y = f(x) 在 n + 1 个节点 x0 ,
2、 x1 , , xn 处的函 数 y0 , y1 , , yn 。,其中：,n次插值基函数,满足,1、差商：,二、牛顿型插值,称为函数 f(x) 关,于点 x0，x1 的差商。,称为函数 f(x) 关,于点 x0 ，x1 ，x2 二阶差商。,n 阶差商：,n - 1 阶差商的差商,各阶差商的计算,差商表,2、牛顿型插值多项式,牛顿型插值多项式为,已知 y = f(x) 在 n + 1 个节点 x0 , x1 , , xn 处的函 数 f(x0 ) , f( x1 ) , , f( xn ) 。则,第二节:曲线拟合,一、最小二乘法,已知 f (x)的一组数据 (xj , yj)(j = 1 ,
3、2 , , n) , 要求,构造一个函数, 用,来逼近 f (x)。不要求,通过所有数据点 (xj , yj) , 数据一般有观测误差,因此 , 曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差。,求,？,设,称,为残差。 记,确定,的原则, 使 Q 取得最小值。,求,？,曲线拟合的最小二乘法,二、拟合函数,给定 f (x)的数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , , n) , 用,来拟合函数 f (x) , 其中,为已知的,线性无关的函数，求系数, 使,在该点处取得最小值 , 称,为拟合函数 或经验公式。,为,求拟合函数, 由于点,的最小点 , 则,应满足 :,即,亦即,引入记号:对于h(
4、x) 与 g(x) , 记,称为h 与 g 的内积,且,则(*)可写成 :,(*),通过求解方程(*) , 求出,。,三、曲线拟合的步骤,1、确定拟合函数的形式,（1）作出散点图（或进行机理分析）；,（2）确定出拟合函数的形式。,2、根据(*)式 , 求出拟合函数(即求出a0 , a1 , , am）,3、检验（修正 , 重新拟合）,四、多项式拟合,当取,时 , 即,此时,多项式拟合,因此 , (*) 为,注：当 m = 1 时, 直线拟合 ; 当 m =2 时, 抛物拟合 。,（*）,直线拟合 ：拟合函数,a0 , a1 满足:,抛物拟合 ：拟合函数,a0 , a1 , a2 满足:,例1、
5、已知,解 ：数据点描绘,令,则,解之得,故,例2、已知,解 ：数据点描绘,令,则,解之得,故,五、其它形式拟合,ln p = ln A + M x,例3、用形如 p(x) = AeM x 的函数拟合下列数据,记 ：y = ln p , a0 = lnA , a1 = M , 则有,解：由 p(x) = AeM x 得,且,于是 , 由,解得：a0 = 1.496 , a1 = 0.4488 。于是,因此,p(x) = 4.464 e0.4488 x,例4、已知,解 ：数据点描绘,(1) 令,记,则,。,解得：a = 0.0847 , b = 0.1319 。即,(2) 令,记,则,则,解得：A = 2.4297 , B = -1.0706 。即,于是,则 y = a0 + a1 x,例5、用形如 W = C t 的函数拟合下列数据,解得 ：a0 = lnC =1.468 , a1 = = -0.1038 , 则有,解: lnW = lnC + lnt , 记 y = lnW , a0 = lnC , a1 = , x = lnt,则,例6、已知,解:,试用,来拟合以上数据,于是,从中解出：a0 , a1 , a2。,