模煳数学基础.ppt

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1、第五章 模糊控制系统,5.1 模糊集合及其运算 经典集合及运算 集合： 指具有某种属性的，确定的，彼此之间可以区别的事物全体。组成集合的事物称集合的元素，集合以大写字母A、B、CX、Y、Z表示，元素以小写字母a、b、cx、y、z表示，元素与集合之间的关系：xX或x X 经典集合常见概念术语： 论域（U）：被考虑对象的所有元素的全体称为论域。 空集（ ）：不含任何元素的集合。,模糊数学与模糊推理,子集：集合A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，,幂集：若U是论域，则以U的所有子集为元素的集合称为U的幂集，记为：P（U）。 交集：同时属于A和B的元素组成的集合为P，则称P是A和B的交集，记

2、为：,且,并集：由属于A或B的元素组成的集合为S，则称S是A和B的并集，记为：,或,差集：由属于A但不属于B的元素组成的集合为Q，则称S是A和B的差集，记为：,且,补集：由论域U中不属于A的元素组成的集合称A在U中的补集，记为：,且,集合之间关系的文氏图表示：,集合的直积 两个集合A和B，直积定义为：,（x，y）称为序偶，（x，y） （y ，x），直积可推广到多个集合上去，设A1，A2，An，则,例：设备A=1，2，B=a，b，c，则,集合的运算性质 设A、B、C U，其并、交、补运算性质如下：,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 分配律,5. 吸收律,6. 同一律,7. 复原律,

3、8. 互补律,集合的表示及特征函数 描述一个集合的常用方法： 1. 通过描述集合中元素的性质来描述一个集合，如,A=x|x 为正整数，x5,2. 例举法（只适用于元素个数有限的集合），如,A=1，2，3，4,特征函数描述法 设A是U的一个子集，A U，xU，集合A的特征函数定义为,例，U是自然数集，A=1，2，3，4，则A的特征函数,A的特征函数在x处的 叫x属于A的隶属度，为1，x绝对属于A，为0，x绝对不属于A。,特征函数的性质：,三条运算性质：,模糊集合及其运算 经典集合论中，一物要么属于某集合，要么不属于某集合，二者居其一，没有模掕两可的情况，经典集合表达概念的内涵和外延都必须是明确的

4、。 内涵：一个概念所包含的那些区别于其它概念的全体本质属性。 外延：符合某个概念的事物的对象的全体。 如“人”这个概念，外延是世界上所有的人，而内涵是区别于其他动物的那些本质属性，如“能制造工具”，“具有抽象、概括、推理和思维能力”等。 人要表达一个概念，有两种方法，一种指出概念的内涵即内涵法。,另一种指出概念的外延即外延法，从集合论角度看，内涵是集合的定义，外延是组成集合的所有元素。内涵和外延是描述概念的两个方面。 人们思维中，有很多没有明确外延的概念，即模糊概念，语言中有很多模糊概念的词，如以年龄作论域，有“年青”，“中年”，“老年”，以身高作论域，有“高个子”，“中等身材”，“矮个子”。

5、以温度作论域，有“高温”，“中温”，“低温”等。 模糊概念不能用经典集合描述，经典集合中的元素绝对属于或绝对不属于集合，很难描述模糊概念基础上的集合。 例 ：“高个子”,模糊子集定义及表示 设给定论域U，U到0，1闭区间的任一映射：,确定U的一个模糊子集 ， 称为模糊子集的隶属函数， 称为u对于 的隶属度，模糊子集也称模糊集合。 当 的值域为0，1时， 退化为经典子集，所以经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合的推广。,模糊集合的常用表达方式有： 1. U为有限集u1，u2，un时，,(1) 扎德表示法,，i=1,2,n,例1：论域U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，讨论“

6、几个”这一模糊概念。据经验 一个、二个或九个、十个，不用“几个”来表示，隶属度为0；五个、六个用“几个”表示最合适， 隶属度为1；四个、七个对“几个”概念的隶属程度为0.7；三个、八个对“几个”概念的隶属程度为0.3。,几个,的元素称为,几个,（2） 序偶表示法,几个,构成序偶集,（3） 向量表示法,几个,2. U为连续域时，扎德记法为,例2：以年龄为论域U=0，200，给出“年青”这一模糊集合的隶属函数。,连续域的关于“年青”的扎德表示：,（1）A与B的并（逻辑或）记为AB，其隶属函数定义为：,（2）A与B的交（逻辑与）记为AB，其隶属函数定义为：,（3）A的补（逻辑非）记为 ，其隶属函数定

7、义为：,1. 模糊子集的并、交、补运算,2. 包含和相等关系,3. 模糊子集运算的基本性质,设模糊集合A、B、CU （1）幂等律,（2）交换律,（3）结合律,（4）分配律,（5）吸收律,（6）同一律,（7）迪摩根律,（8）复原律,即,（9）对偶律,（10）互补律不成立,例：,模糊截集 约定：当u对于A的隶属达到或超过 者就算是A的成员，则A变成了经典子集 。 例：“高个子”是模糊集合，而“身高170cm以上的人”是经典集合。 设A是模糊集合，,（1）,（2）,称为A的强截集。,常见隶属函数,5.2 模糊矩阵与模糊关系 模糊矩阵定义及运算 1. 模糊矩阵,2. 模糊矩阵的并、交、补运算,例设模糊

8、矩阵R和S,3. 模糊矩阵的运算性质,设模糊矩阵R、S、T （1）幂等律,（2）交换律,（3）结合律,（4）分配律,（5）吸收律,（6）复原律,（7）对偶律,（8）对任意模糊矩阵R，有,0、E分别是零矩阵、全矩阵,（10）互补律不成立,模糊矩阵的截矩阵 设R是模糊矩阵，对任意的 ，记,其中,例，当,时，求相应的截矩阵。,例，设,模糊矩阵合成运算性质,（1）结合律,推论：,（2）分配律,对与“交”运算，不满足分配律,（3）,其中，0为零矩阵，I为单位阵,合成运算不满足交换律，即,例,模糊矩阵的转置,同普通矩阵转置一样，行变列，列变行。性质如下：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,模

9、糊关系 模糊关系的定义 模糊关系是普通关系的推广，普通关系描述元素之间是否关联，而模糊关系则是描述元素之间的关联程度的多少。 设X、Y是两个非空集合，则直积,中的一个模糊子集 ，称为从X到Y的一个模糊关系，记,例设某地区人的身高论域X=140，150，160，170，180（cm)，体重论域Y=40，50，60，70，80（kg），下表为身高与体重的相互关系，是从X到Y的一个模糊关系,用矩阵表示为：,模糊关系的运算 模糊关系运算 设 是X到Y的模糊关系，定义如下运算：,（1）并：,（2）交：,（3）包含：,（4）相等：,（5）补：,（6）转置：,（7）恒等关系：若给定X上的关系,则称 为X上的

10、恒等关系,（8）零关系：若给定XY上的模糊关系,则称 为XY上的零关系,则称 为XY上的全称关系,（9）全称关系：若给定XY上的模糊关系 满足，,模糊关系运算性质：,模糊关系的性质： 1. 自反性 模糊关系R，若任意xX， 则认为R具有自反性，任意x与自身从属于R的程度为1，（相应模糊矩阵R的对角元素全为1）。,则称R具有对称性，其相应模糊矩阵R满足,则称R具有传递性，其相应模糊矩阵R满足：,即,具有自反性、对称性的模糊关系称为相容关系。,例,“相象关系”具自反性、对称性是相容关系； “仇敌关系”不具自反性，具对称性、传递性； “喜欢”不具对称性、传递性； “大得多”，不具有自反性、对称性，但

11、具传递性；,例，设X=x1，x2，x3，x4，x5，模糊关系矩阵如下，判断R是否是模糊等价关系？,如论域X上的模糊关系同时满足： （1）自反性： （2）对称性： （3）传递性： 则称R是X上的一个等价关系。,R具有传递性，R同时具有自反性，对称性，传递性，所以R是等价关系。,又,因为R的主对角元素均为1，且有,R具有自反性和对称性。,模糊关系的合成 先讨论普通关系的合成，例如，U是一群人的集合，弟兄关系用Q表示，父子关系为R，叔侄关系为S，则Q、R、S是U中的三个普通关系，现在有甲、乙、丙三人，如果甲是乙的弟弟，乙是丙的父亲，那么甲必是丙的叔叔，即如果（甲、乙）Q， （乙、丙）R，则（甲、丙）

12、S，我们称叔侄关系是弟兄关系的与父子关系的合成。 记作：,或可以说已知甲是丙的叔叔，则一定可以找到一个乙，使乙是甲的兄弟，且乙是丙的父亲,一般地，设U、V、W是论域 Q是UV的关系，R是V W的关系，S是U W的关系 如果（u，w）S 存在v V，使得（u，v）Q，且（v，w）R，则称S是Q对R的合成。,即,用特征函数表示为：,当论域有限时，模糊关系的合成用模糊矩阵的合成表示：,则有,模糊相量 定义：任意 i（ i =1，2，n）都有ai0，1则称,为模糊相量,模糊相量可看成特殊形式的模糊关系，一个论域U上的模糊子集，可被视为从它的概念名称到U的一个模糊关系，这个模糊关系写成矩阵形式就是模糊相

13、量。 例 设论域X=1，2，3，4，5，X上的模糊子集“大”的隶属函数为： 大=0/1+0/2+0.4/3+0.7/4+1/5 写成相量为： 大=（0，0，0.4，0.7，1） 则这个模糊相量可看作从“大”到U的一个模糊关系。,模糊相量的笛卡尔积,设有两个模糊相量a，b，对应论域分别为X、Y，定义：,为模糊相量的笛卡尔积，表示它们所在论域X与Y之间的一个模糊转换关系。,例，已知a=（0.8，0.6，0.2），b=（0.2，0.4，0.7，1），计算笛卡尔集。,5.3 模糊语言及模糊推理 模糊语言变量 语言变量以自然或人工语言中的字或句作为变量，表征那些非常复杂或定义很不完善无法用通常的精确术语

14、进行描述的现象。,一个语言变量可定义为一个五元体(x,T(x),U,G,M)。其中，x为变量名； T(x)为x的词集，即语言值名称的集合； U为论域； G是产生语言值名称的语法规则； M是与各语言值含义有关的语法规则（语义规则）。语言变量的每个语言值对应一个定义在论域U中的模糊数。语言变量基本词集把模糊概念与精确值联系起来，实现对定性概念的定量化以及定量数据的定性模糊化。 例如，以控制系统的误差作语言变量X，论域取U=-6，+6，“误差”语言变量的原子单词有“大”、“中”、“小”、,“零”，施加适当语气算子可构成多个语言值名称如“很大”、“中等”等，在考虑正、负情况，T（X）可表示为：,T（X

15、）=T（误差）=正很大+正大+正中+正小+零+负小+负中+负大+负很大,误差,模糊推理,（1）假言推理 形式逻辑中，推理有直接推理、归纳推理以及类比推理等，科学研究中最常用的推理方法是演绎推理中的假言推理，其规则是如果已知命题A蕴涵B，即AB（或如A则B），如今确为A，则可得结论为B，其逻辑结构为：,（2）模糊推理 设X和Y是基础变量x，y的论域，模糊集合A和B的隶属函数分别为 ，R是XY论域上XY的模糊关系，其隶属函数为：,通过模糊关系矩阵R可写成：,E是全称矩阵。,近似推理情况下的假言推理具有如下逻辑结构：,例，设论域X=a1，a2，a3，a4，a5及Y=b1，b2，b3，b4 b5上的模

16、糊子集,XY上的模糊关系为“若x小，则y大”。现假定“x较小”，则“y”如何？,解：首先计算模糊关系R，即,较小=1/a1+0.4/a2 +0.2/a3,根据推理规则,（3）模糊条件推理 模糊条件语句“IF A then B else C”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,基于推理合成规则，已知模糊子集A1，对应推理结论子集B1为：,模糊条件语句“IF A and B then C”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,合成：,例，设论域X=a1，a2，a3及Y=b1，b2，b3，Z=c1，c2，已知模糊集合,0.5/a1+1/a2+0.1/a3,0.1/b1+1.0/b2+0.6/b3,0.

17、4/c1+1.0/c2,试确定模糊条件语句“IF A and B then C”所确定的模糊关系R，以及计算由给定的输入集合,1/a1+0.5/a2+0.1/a3,0.1/b1+0.5/b2+1/b3,决定的输出模糊集合C1,写成列相量,写成行相量,得C1：,模糊条件语句“IF A and B then C else D”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,模糊条件语句“IF A and B and C then D”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,合成：,合成：,模糊条件语句“IF A or B then C or D”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,模糊条件语句“IF A and B then C and D”推理，在论域XY上的模糊关系R为：,合成：,