第4章参数估计.ppt

《第4章参数估计.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章参数估计.ppt（101页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第 4 章 参数估计,第 4 章 参数估计,4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 两个总体参数的区间估计（自学） 4.4 样本容量的确定,4.1 参数估计的一般问题,一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准,估计量与估计值,估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例: 样本均值就是总体均值的一个估计量 总体参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值,估计量与估计值 (estimator & estimated value),点估计与区间估

2、计,参数估计的基本方式,用样本对总体的未知参数进行估计的方法常见的有两种: 点估计（point estimation） 区间估计（interval estimation）,用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值叫总体参数的点估计。,以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。,用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 优点： 简单、具体明确 缺点：点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息 点估计的方法有矩估计法、

3、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等,点估计 (point estimate),点估计 （例题分析）,例如，对一批某种型号的电子元件10000只进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试的平均耐用时间为1055小时，合格率为91%。 我们推断说10000只电子元件的平均耐用时间为1055小时，全部电子元件的合格率也是91%。,为了考察师大男生的身高状况，随机抽测50人得到,试估计师大男生的平均身高和标准差。,解：,师大男生平均身高的估计值是170cm，但其真正的平均身高是否就是170cm? 未必就是，这里面存在误差。那么这种误差是如何处理呢？,点估计 （例题分析）,点估计值仅仅是未知参数的一个

4、近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷,区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到。根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班平均分数在7585之间，置信水平是95% 优点：考虑了估计量的分布，能说明估计结果的可靠程度,区间估计的图示,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的估计量为1000条。,若我们能给出一个区间（950，1050），在此区间内我们合理地相信 N 的真

5、值位于其中， 这样对鱼数的估计就有把握多了。,实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条。,区间估计 （例题分析）,问题就在于：这个1000的估计值可能在区间（950，1050）内，也可能不在,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比率 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平,这个概率不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值的可能性，而是指在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了总体参数的真值,由样本统计量所构造的总体参数的估计

6、区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间 (confidence interval),总体参数的真值是固定的、未知的，而用不同样本构造的区间是不固定的，因此，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可靠程

7、度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平，置信水平的大小是根据实际需要选定的。,置信区间,小结,（1）区间估计 简单地说就是用一个区间去估计未知参数，把未知参数估计在某两个界限之间。 （2）置信区间 按照预先给定的概率（1- ）确定的包含未知总体参数的可能范围。它是以上下置信限（L1 , L2）为界。,（3）置信概率 又称置信水平或置信度，指在区间估计中，预先选定（规定）的概率。用 1-表示。常取95%或99%。 （4）显著性水平 在使用置信区间作估计时，被估计的参数不在该区间内的概率。用表示。一般取值要求较小。,小结,置信区间表达了区间估计的精确性。 置信水平（1-）表达了区间估计的可

8、靠性。它是区间估计的可靠概率。 显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率。,要点,评价估计量的标准,无偏性 (unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数,抽样分布中，样本均值、比率、方差分别是总体均值、比率、方差的无偏估计量,有效性 (efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效,无偏估计量还必须与总体参数的离散程度比较小,一致性 (consistency),一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数,4.2 一个总体参数的区间估计,一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三

9、、总体方差的区间估计,一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计 (大样本),总体均值的区间估计 (大样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z,总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为,此条件下小样本总体也适用,总体均值的区间估计 (例题分析),【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平

10、均重量的置信区间，置信水平为95%,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得： 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g,总体均值的区间估计 (例题分析),【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为

11、37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计 （练习）,某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36分钟）。,总体均值的区间估计 （例题分析）,解：已知 x26, =6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96,我们可以95的概率认为平均每天参加锻炼的时间在24.82427.176 分钟之间,某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位：毫米)： 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2,

12、 15.1. 求： 的置信系数为0.95的区间估计。,总体均值的区间估计 (练习),解：n = 6， = 0.05， z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 . 所求置信区间为,总体均值的区间估计 (例题分析),总体均值的区间估计 (小样本),总体均值的区间估计 (小样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 小样本 (n 30) 2.使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,注意自由度,t 分布, t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分

13、布,总体均值的区间估计 (例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,从一个正态总体中抽取一个随机样本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。建立总体均值的95%的置信区间。,总体均值的区间估计 (练习),总体均值的区间估计 (练习),解

14、：已知N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。,我们可以95的概率认为总体均值在46.6953.30 之间,为估计一物体的重量，将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N( , 2)。求 的置信系数为0.95的置信区间。,总体均值的区间估计 (练习),解: n=10, =0.05, t9 (0.025)=2.2622,总体均值的区间估计 (练习),总体比率的区间估计,总体比率的区间估计,1. 假定

15、条件 总体服从二项分布，样本量足够大 可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量 z,总体比率在1-置信水平下的置信区间为,参看P108,总体比率的区间估计 (例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间,解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%74.35%,总体比率的区间估计 (练习),【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行

16、访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。 试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造（95%的置信区间）。,我们可以95的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%76.4%之间,解：已知 n=200，P0.7, = 0.95，/2=1.96,总体比率的区间估计 (练习),总体方差的区间估计,1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 3. 总体方差 2 的点估计量为s2,且,4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为,参看P108,总体方差的区间估计,总体方差的区间估计 (图示), 2, 21- , 2 ,总体方差

17、1- 的置信区间,自由度为n-1的2分布,总体方差的区间估计 (例题分析),【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间,总体方差的区间估计 (例题分析),解:已知n25，1-95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21 2置信度为95%的置信区间为,该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g13.43g,总体方差的区间估计 (练习),有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋 , 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 5

18、04 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差的置信水平0.95为的置信区间。 S=6.2022,解：这里,总体方差的区间估计 (练习),于是得到的置信水平为0.95的置信区间为,总体方差的区间估计 (练习),例2：为估计一物体的重量，将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N( , 2)。 求2的置信系数为0.95的置信区间。 S2=0.0583

19、,解：n=10, = 0.05, S2=0.0583, 查附表得，,于是，,总体方差的区间估计 (练习),4.3 两个总体参数的区间估计 （自学）,一、两个总体均值之差的区间估计 二、两个总体比率之差的区间估计 三、两个总体方差比的区间估计,样本容量的确定,两个总体参数的区间估计,两个总体均值之差的区间估计 (独立大样本),两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布，1、 2已知 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230) 两个样本是独立的随机样本 使用正态分布统计量 z,两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 1， 2已知时，两个总体均值之

20、差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,1、 2未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为,两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为 5.03分10.97分,两个总体均值之差的区间估计 (独立小样本),两个总体均值之差的估计 (小样本: 12= 22 ),1. 假定条件 两个总体都

21、服从正态分布 两个总体方差未知但相等：1=2 两个独立的小样本(n130和n230) 总体方差的合并估计量,估计量x1-x2的抽样标准差,两个总体均值之差的估计 (小样本: 12=22 ),两个样本均值之差的标准化,两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析)

22、,解: 根据样本数据计算得 合并估计量为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.14分钟7.26分钟,两个总体均值之差的估计 (小样本: 12 22 ),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：12 两个独立的小样本(n130和n230) 使用统计量,两个总体均值之差的估计 (小样本: 1222 ),两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方

23、差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得 自由度为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.192分钟9.058分钟,两个总体均值之差的区间估计 (匹配样本),两个总体均值之差的估计 (匹配大样本),假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (匹配小样本),假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总

24、体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表 。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间,STATISTICS,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得,两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分 15.67分,两个总体比率之差的区间估计,1. 假定条件 两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似 两个样本是独立的 2. 两个总体比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体比率之差的区间估计,两个总体比率之差的估计 (

25、例题分析),【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间,两个总体比率之差的估计 (例题分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度为95%的置信区间为,城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%,两个总体方差比的区间估计,两个总体方差比的区间估计,1. 比较两个总体的方差比 用两个样本的方差比来判断 如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很

26、接近 如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为,两个总体方差比的区间估计 (图示),两个总体方差比的区间估计 (例题分析),【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果： 男学生： 女学生： 试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间,两个总体方差比的区间估计 (例题分析),解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度为90%的置信区间为,男女学

27、生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84,4.4 样本容量的确定,一、估计总体均值时样本容量的确定 二、估计总体比率时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为 样本容量n与总体方差 2、可接受的允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为 与总体方差成正比 与允许误差成反比 与可靠性系数成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),解: 已知 =2000，

28、E=400, 1-=95%， z/2=1.96 应抽取的样本容量为,即应抽取97人作为样本,样本容量的确定（实例）,解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，E=500 应抽取的样本容量为,【例】一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？,1. 根据比率区间估计公式可得样本容量n为,估计总体比率时样本容量的确定,E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5,其中：,估计总体比率时样本容量的确定 (例题分析),【例】根据以往的生产统

29、计，某种产品的合格率约为90%，现要求允许误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，=0.05， z/2=1.96，E=5% 应抽取的样本容量为,应抽取139个产品作为样本,估计总体比率时样本容量的确定 (例题分析),应抽取的样本容量为,【例】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计值）。,样本容量的确定 (练习),据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该市购房者中本地人购房比率p的区间估计，在置信水平为10%时，其边际误差E=0.08。则： （1）这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少？ （2）若显著性水平为95%，则要保持同样的精度进行区间估计，需要调查多少名购房者？,样本容量的确定 (练习),（1）由比率区间估计的公式,样本容量的确定 (例题分析),（2）根据估计总体比率时样本容量的确定公式,也就是说，当置信水平由=0.01变为0.05时，要保持同样的精度，样本容量应从80增加到113,本章小结,参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 样本容量的确定,作业：p144，2、5、7、,