第4章向量空间.ppt

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1、第四章 向量空间,4.1 向量及其线性组合,4.2 向量组的线性相关性,4.3 向量组的秩,4.4 矩阵的秩,4.5 向量空间,4.6 线性方程组解的结构,4.1 向量空间,引例:几何中的向量,把有方向的线段叫做向量,向量,由一个三元数组,唯一确定。,向量的加法(平行四边形法则),向量的数乘,建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.,推广：我们把三维中的向量推广到n维，得到n维空间中的向量,定义,n 个数组成的有序数组,或,称为一个n维行向量或n维列向量，其中,称为该向量的第i个分量。行向量和列向量统称为 向量。,分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n 维实(复)向量的

2、全体记为,无特殊说明，以后所指向量都为实列向量,例4.1.1 称单位矩阵的列向量,为标准坐标向量。设,利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例,例4.1.2 设,证明,证 把 按列分块为,则,定义,若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫 做向量组,例如: mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向 量的向量组, 称为 A 的列向量组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,为 A 的行向量组.,列向量组,行向量组,向量的线性运算,向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算按矩阵的相应运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。,在Rn中的向量满足以下8条规律

3、：,其中 都是n维向量，k、l为实数。,对于向量组 , 表达式,又称向量 可由向量组 A 线性表示.,通常写成,向量的线性表示,为A的一个线性组合， 为其组合系数。 如果 是 的一个线性组合，即存在 使得,例4.1.3,有,所以，称 是 的线性组合，,或 可以由 线性表示。,1零向量可由任一组向量线性表示。,中每个向量都可由向量组本身,2向量组,线性表示，,注意,3任一n元向量,都可由n元单位向量组,线性表示，即,想一想,n元线性方程组,可以用向量形式表示为,(1),其中,对应齐次方程组可用向量形式表示为, , ， ，,线性方程组的向量表示,向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,另外, 如果

4、解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ,(按定义),(转换为方程组),方程组,例4.1.4,解 设,，且表示方法有无穷多种。,方程组 与矩阵B相对应的同解方程组为,则,当c=1时，,当c=-2时，,解,记,不能由 A 线性表示; 能由 A 唯一表示; 能由 A 有无穷多种表示, 并求所有表示方法.,设向量组 A:,具体解方程组过程略。,时,方程组无解, 不能由 A 表示.,时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.,例4.1.5,时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.,通解为,所有表示方法:,其中 k 为任意实数.,即,定义,如果向量组 中的每一个向量都可以被,向量组 线性表示，

5、即存在常数,则称向量组 可由向量组 线性表示。 如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组 等价。记作,利用矩阵的分块乘法(2)又可以写成如下矩阵乘法形式,(2),记,则矩阵B的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示 就是存在矩阵C使得B=AC。由此我们得到下面的结论,定理4.1.1,矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示的 充要条件是矩阵方程AX=B有解。 矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示的 充要条件是矩阵方程XA=B有解。,定理4.1.2,行等价矩阵的行向量组等价,证： 设A与B行等价矩阵，即 ，也就是存在可逆 矩阵P使得B=PA，从而 ，由定理4.1.1可知，B的

6、 行向量组可由A的行向量组线性表示，A的行向量组可以由 B的行向量组线性表示，所以A和B的行向量组等价。,例4.1.7,矩阵A用初等表换化成最简阶梯矩阵B如下,记A的行向量组为,B的非零行向量组为,则向量组 与行向量组 等价，即列 向量组 与列向量组 等价,4.2 向量组的线性相关性,引例4.2.1,看看三维空间中的向量(如图),三个向量共面,三个向量无法相互线性 表示，三个向量异面,引例4.2.2,考察线性方程组,(4.2.1),上面4个方程有如下关系：,这说明方程组中第和第个方程是多余的, 可以去掉. 即方程组与下面方程组,是同解的。考察原方程组中增广矩阵的行向量组,(4.2.2),知,即

7、 可以由 线性表示。,定义4.2.1,则称该向量组线性相关. 否则,如果设,线性相关无关的判别,定理4.2.1,下面三个命题等价,(3)齐次线性方程组,有非零解,推论4.2.1 下面三个命题等价 (1) 向量组 线性无关； (2) 如果有一组数 使得 则必有 (3) 齐次线性方程组,线性相关无关的判别,只有零解,例4.2.1 判断向量组,的线性相关性。,解 设,记,把A用初等行变换变为阶梯形,得知方程,只有零解，所以原向量组线性无关。,注,由于A是方阵，也可以由|A|=-6得知方程组,只有零解,设n阶方阵,，由上述定理可知，A是可逆,矩阵的充要条件是方程组,只有零解,由此我们得到下面的定理,定

8、理4.2.2,设A是n阶方阵，则下面的三个命题等价,(1)A为可逆矩阵 (2)A的列向量组线性无关 (3)A的行向量组线性无关,例4.2.2. 若向量组,的一个子集线性相关，则,向量组必线性相关。若向量组,线性无关，则,该向量组的任何一个子集必线性无关。,证 不妨设向量组,的一个子集,线性相关，即存在一组不全为零的,数,使得,从而,所以,线性相关。,部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关,例4.2.3 设,是由n个m维的向量构成的向量组,若,则该向量组线性相关。,证 记矩阵,线性方程组,从而,必然线性相关。,例如 矩阵,它的列向量组必然线性相关,个数大于维数的向量组必然相关,例4.2.4

9、设向量组,线性无关，则向量组,也线性无关(其中*取任意数),证 因为,线性无关, 所以方程组,只有零解，从而方程组,也只有零解，因此,线性无关。,短的无关, 则长的无关；长的相关, 则短的相关.,定理4.2.3(唯一表示定理) 设向量组,线性无关,向量组,线性相关，则向量,可由向量组,线性表示，且表示方式唯一。,证 由于向量组,线性相关，故存在不全,零的数,使得,必然有,否则，若,则,由于,线性无关，必有,这与,不全为零矛盾，因此,则,所以向量,可由向量组,线性表示。,唯一性 假设向量,由向量组,的表示有两种,移项,由于,线性无关，所以,唯一性得证,这一结论可以等价的表示为：方程组,有唯一解。

10、,推论4.2.2 设,，且,线性无关,则,中的任一向量都可以由向量组,唯一表示。,4.3 向量组的秩,对于给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系? ( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示)，它们的本质不变量是什么？,引例4.3.1,考察线性方程组,其增广矩阵为,记其行向量分别为,则,说明方程组中把第和第个方程去掉只保留第和第个 方程仍是等价的. 即,又容易验证,又说明把方程组中第和第个方程去掉只保留第和第 个方程仍是等价的. 即,一般地, 我们提出如下非常有意义的问题：对于给定的一个 向量组, 找出的一个子集, 满足下面两个条件：,（1）中所有向量都可由线性表示； （2

11、）所含向量个数尽可能地少.,条件（1）就是要求与等价. 条件（2）就是要求线性无关. 这是因为, 如果线性相关, 则中至少还有一个向量可由中 其余向量线性表示. 因此, 我们给出下面极大无关组和向量 组秩的概念.,定义4.3.1,设V是一个向量组, 如果中有r个向量,满足 (1),线性无关,(2) V中的任一个向量都可以被,线性表示。,则称向量组,是向量组V的一个极大线性,无关组，极大线性无关组含有向量的个数r为向量组V,的秩，记做,或者,只含零向量的,向量组没有极大无关组, 规定其秩为零.,注 1.含有非零向量的向量组总存在极大线性无关组,2. 极大线性无关组不唯一,但是同一向量组的极大线性

12、 无关组所含向量的个数唯一，即向量组的秩唯一。,定理4.3.1 向量组,线性无关的条件是,等价的向量组,线性相关的条件是,问题： 如何求向量组的秩和极大无关组,定理4.3.2 设,即A与B行等价，则A的列向量组与B的列向量组有 相同的线性关系，即方程组,与,同解。,证： A与B是行等价矩阵，即，存在可逆矩阵P使得 PA=B，从而,(1),(2),设,是(1)的解，即,说明,也是方程(2)的解。,反之,是(2)的解，即,即u也是(1)的解，综上方程(1)(2)是同解方程,思考： 此定理的意义何在？,例4.3.2 求向量组,的秩和一个极大无关组，并用此表示其他向量。,解 把向量按列排除矩阵，化成行

13、最简形,显然,线性无关，且,这说明,是,的一个极大无关组，,其余向量,可由,线性表示。,根据定理4.3.2,线性无关，并且,说明,是,的一个极大无关组。并且,其结果用矩阵表示为,定理4.3.2(Steinitz定理) 设向量,可由向量组,线性表示，如果,则,线性相关,证 向量,由向量组,线性表示，即,存在矩阵,使得,因,所以方程组,有非零解,从而,即u是方程组,的一个非零解，所以,线性相关。,例如： 设,不管向量组,是否线性相关，向量组,必线性相关,推论4.3.1 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。,推论4.3.2 一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等.,推论4.3.3 设向量

14、组的秩rankV=r, 则中任意向量个数大于r的 向量组都线性相关.,推论4.3.4 设向量组V的秩rankV=r, 则V中任意r个线性无关的 向量都是V的极大无关组.,推论4.3.5 设向量组,可由向量组,线性,表示，则,推论4.3.6 等价的向量组有相同的秩。,根据上面的定理及其推论易得到下面极大无关组的等价定义.,定义4.3.2（极大无关组的等价定义） 设是一个向量组. 如果,(1) V中有r个向量,线性无关；,(2) V中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关,则称向量组,是向量组V的一个极大无关组。,4.4 矩阵的秩,矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为,A的列秩,问

15、题： A的行秩,A的列秩,引理4.4.1 初等变化不改变矩阵的行秩与列秩。,证 首先证明初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩，设,则A与B的行向量组等价，因而他们有相同的行秩。并且他们 的列秩有相同的线性关系，所以他们有相同的列秩。,再证明初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩。设,从而,因此列变换不改变矩阵的列秩和行秩。,由于,(行最简阶梯形矩阵)，A与U具有,的行秩和列秩。,设,记U的列向量为,则,是U的一个极大无关组，并且其个数为U的,非零行的行数；U的列秩=U的非零行的行数.,再记U的行向量为,则,只有零解，,线性无关；又因为,，所以,是,的极大线性无关组，即,U的行秩=U的非零行的行数.,由此

16、得到下面的结论,引理4.4.2 最简阶梯行矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其 非零行的行数,引理4.4.3 任一矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其最简 形矩阵或者阶梯形矩阵的非零行的行数。,定义4.4.1 称矩阵A的行秩(或列秩)为矩阵A的秩，记为 rank(A)或者r(A),规定零矩阵的秩为0,定理4.4.1 初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的秩等于它对应 最简阶梯形或者阶梯形矩阵的非零行的行数。,推论4.4.1 设P,Q都是可逆矩阵，则,例4.4.1 设矩阵,且,求t,解：,由于,必须,即,显然矩阵的秩有下面的性质,定理4.4.2 设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n,定义4.4.2

17、设A是n阶方阵，如果r(A)=n，称A为满秩矩阵,可逆矩阵=满秩矩阵(方阵),定理4.4.3,证明 记,则C的列向量被A的列向量线性表示,C的行向量被B的行向量线性表示,故,由推论4.3.5，则,例4.4.2 设,若,证明,证：,永远是奇异矩阵,有可能是非奇异矩阵,例4.4.3 证明,证 设,为A的列向量组的极大无关组,为B的列向量组的极大无关组。,显然,即,又,的任一列向量都可被,线性表示,从而,。即,由于,(1),(2),(2)式可以类似证明,推论4.4.1 线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩 满足,例4.4.3 设向量组,线性无关，向量组,可以由向量组,线性表示为,记矩阵,证

18、明：,线性无关的充要条件是,证,记,则,由于,则,所以，,线性无关,只有零解,只有零解,矩阵的秩还可以用矩阵的子式来刻画. 当A是阶方阵时, 我们,定理4.4.4,矩阵A的秩r(A)=r的充要条件是A的一个r阶子式,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都等于零。,知道,如果,或A不是方阵，有如下结论,注,当A的所有r+1阶子式都等于零时，由行列式展开定理,知，A的所有p(pr+1)阶子式都等于零。,定义4.4.3(矩阵秩的等价定义),称矩阵A的非零子式的最高阶数为矩阵A的秩。,例4.4.4,求下面矩阵A的秩,解,A的右上角的n-1阶子式,如果x不是上面多项式的零点，则,否则,如果x是上面多项式

19、的零点，则,4.5 向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,证明下列集合是向量空间,证,所以 构成了向量空间.,例4.5.1,证,证明齐次方程组的解集,是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间.,证明非齐次方程组的解集,不是向量空间.,证,设 , 而,S 对加法运算不封闭.,或,S 对数乘运算不封闭.,是向量空间.,证,定义,设 是一向量组, 称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地, 由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A),设向量组 与向量组 等价,证明,同理,证,向量空间 的一个最大无关组, 称为 V 的一个基(或坐

20、标系). 基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V) = r . 此时称 V 是 r 维的向量空间.,设有向量空间 及 ，若 ，就称 是 的子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，则,定义,定义,如果,规定,设向量空间 V 的一个基为 ,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为,定义,数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标.,的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。,例如：,中任意n个线性无关的向量都是,的一组基,特别的称,为,的自然基。,例6.,设向量组,求向量空间,的一组基，并求dimV,解法1,把向量按列排成矩阵用初等变换化成阶梯形,知,是向量

21、组,的一个极大无关组，也是V的一组,基，从而dimV=2.,解法2,把向量按行排成矩阵A，把A用初等行变换化成,阶梯形，则阶梯形矩阵U的非零行向量是与A的行向量组等价 的线性无关组，也是V的一个基,知,是V的一组基，且,定理4.5.1(基的扩张定理),设,是,的一组线性,无关组，,则存在n-m个向量,使得,为,的一组基。,例7,设,其中,分别求,在基,和基,下的坐标,解,解线性方程组,得,故,所以,在基,的坐标为,同理得,在基,下的坐标,定义4.5.6,设r维向量空间的两个基,和,则,可由,线性表示,则称矩阵,为由基,到基,的过渡矩阵,显然，过渡矩阵一定是可逆矩阵，这是因为,设向量,在基,下坐

22、标为,在基,下坐标为,基,到基,的过渡矩阵为P，则,(坐标变换公式),例8.,设,其中,求由基,到,的过渡矩阵。,解,把矩阵,用初等行变换成最简阶梯形矩阵,即,4.6 线性方程组的解的结构,一、 线性方程组解的存在性定理,二、 齐次线性方程组解的结构,三、 非齐次线性方程组解的结构,一、 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(

23、2),A的列向量组线性相关,例1 设n(n2)阶方阵A是可逆矩阵，证明,无解。,例2 对于非齐次方程组,(1) 证明:如果AX=b有唯一解，则AX=0仅有零解； (2) 如果AX=0仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？,二、 齐次线性方程组解的结构,(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?,(1) 解集的特点?,性质1：若 是(4-3)的解，,性质2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。,性质,而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题(1),通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答

24、所提问题.,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B,从行最简形能得到什么？,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数 = ?,第四步:写出基础解系,再来分析一下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,就是,类似的,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的, 从而也是基础解系.,由此得到下面的解法二.,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步

25、:写出通解,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,则齐次线性方程组,的任意 个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,解：,所以只有零解，基础解系不存在。,例2 : 求下列齐次方程组,例4,设 , 是 的,两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是,例3 求四元方程组 的基础解系。,设 ,证明,证,因此,移项,重要结论,且线性无关，则_是AX=O的基础解系。,(2),(3),则_可为AX=O的基础解系。,(4),练习,(1),(2),证明,设 , 首先证明,利用这一结论,证,重要结论,求一个齐次方程组, 使它的基础解系为,记之为 AB=O ,

26、这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知,然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可.,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为 , 则,解,三、非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,性质,(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齐次方程组的解集不是空间。,设,是非齐次线性方程组,的解，则,解的全体,其中,表示A的零空间。如果,是,的一组基，则,任一解,可以表示为,解,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,即得方程组的一个解,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解.,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,