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1、第4章 插值与多项式逼近,4 Interpolation and Polynomial Approximation,引例,你曾使用过的地图最初从何而来?世界上第一张地图是如何绘制的? 对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图?,插值法 Interpolation,插值概念与基础理论 Introduction 插值多项式的求法,插值概念与基础理论,概念 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式yf(x)来表示,应用 插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而 的应用，例如: 信息技术中的图像重建 机械
2、零件的外观设计 实验数据与模型的分析 天文观测数据 地理信息数据的处理 社会经济现象的统计分析等等,大脑成像,汽车车轮造型,虚拟风洞,气象三维数据模型,油藏模型,插值概念与基础理论,概念 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式yf(x)来表示,如何确定插值多项式？,插值余项,对t求导，k(x)看成常数,4.3 Lagrange Approximation,当 n=1 时,称线性插值,当 n=2 时,抛物线插值,编制程序时，可用二重循环来完成计算，即先固定k，令J从0到n(jk)作乘积得,然后对k作和得Ln(x)的值相应
3、的程序框图为:,MATALAB实现Lagrange插值,%lagrange insert function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i) s=0.0 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end,x=0.4:0.1:0.8; y=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144; lagrange(x,
4、y,0.54),ans = -0.6161,22 差商与牛顿基本括值多项式,前面构造的拉格朗日插值多项式，其形式具有对 称性，既便于记忆，又便于应用与编制程序但是，由 于公式中的 都依赖于全部插值节点，在增加或减少节点时，必须全部重新计算为克服这个缺点，插值多项式可以如何构造？,这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式,Newton Polynomials,Program 4.2(Newton Interpolation Polynomial),程序42(牛顿插值多项式) 构造和计算经过点 的次数小于等于N的牛顿多项式：,利用MATALAB进行插值计算,一维插值,分段低次插值,Runge现象产生,x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2); plot(x,y) plot(x0,y0,-r),分段线性插值,分段抛物插值,3.1 分段线性插值与分段抛物插值,利用MATLAB软件进行插值,高维插值,气旋变化情况可视化,应用实例分析,思考题：,This Class Is Over, Thanks for Your Attention!,三次样条插值,三次样条插值函数求法,边界条件：,三次样条插值函数简化计算方法,由,确定两个积分常数,