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1、第一章 控制系统的状态空间表达式,经典控制理论研究系统输入输出之间的关系 现代控制理论研究系统内部的运动状态,1.1 状态变量及状态空间表达式,状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量 n阶微分方程就有n个独立变量，因此也就有n个状态变量。一般一个系统状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数 状态矢量 将这些状态变量写成矢量的形式，构成一个状态矢量。如：,状态空间 以状态变量 为坐标轴构成的n维空间 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。 输出方程 在指定系统的输出时，该输出与状态变量间的函数关系称为系统的输出方程。 状态空间表达式 状态方程和输出方
2、程总合起来，构成对一个系统完整的动态表述，称为系统的状态空间表达式。,例1. 求图示机械系统的状态空间表达式 外力 位移,力学方程,令,-弹性系数,阻尼系数,动态方程如下,状态空间表达式为：,例2:求图示RLC回路的状态空间表达式 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选,为系统两状态变量，则原方程可化成 写成矩阵矢量的形式为：,令 为状态矢量 则：,状态空间表达式,对于以上所举例题，可用如下通式来表示： 其中： 为状态矢量；A为系统矩阵；B为输入矩阵（又叫控制矩阵）；C为输出矩阵；D为直接传递矩阵,将状态空间表达式的信号传递关系用方块图来表示,1.2 状态空间表达式的模拟结构图,积分器
3、的数目等于状态变量数，将她们画在适当的位置上，每个积分器的输出表示相应的状态变量，根据状态方程和输出方程画出状态空间表达式的模拟结构图。 例3 已知系统的状态空间表达式为： 试画出其模拟结构图。,1.3 状态空间表达式的建立,一、由方块图建立状态空间表达式 例4,二、从系统的机理出发建立状态空间表达式 例5 图示电网络系统，输入电流 , 输出电压 和,以电容 和 上的电压 和 及电感 和 中的电流 和 为状态变量，即令： 消去中间变量 和 得：,三、由系统的传递函数建立状态空间表达式（实现问题） 例6 设系统的传递函数为： 可得微分方程为； 从而得模拟结构图和状态空间表达式如下,例7 设系统的
4、传递函数为 上式可变为： 令 则 即 令,可得系统的状态空间表达式为 该题还可以采用如下方式解决 将传递函数化为微分方程,例8 多输入多输出系统的微分方程如下，试求其状态方程表达式，并画出模拟结构图。 由上式可得,画出模拟结构图为 状态空间表达式为,1.5 状态向量的线性变换,一、系统状态空间表达式的非唯一性 设给定系统为 总可以找到一个非奇异矩阵T，令 得变换后的状态空间表达式 T称为变换矩阵,二、系统特征值的不变性及系统的不变量 1. 系统特征值 系统的特征方程： 2. 可以证明经非奇异变换后系统的特征方程是不变的，而系统的特征方程是由特征多项式的系数所决定的，因此，特征多项式的系数为系统
5、的不变量。 3. 特征矢量 为 的对应于 的特征矢量 例9 试求 的特征矢量,解：特征方程为 解得 对应于 的特征矢量 ，代入 解得 令 得,同理，可以算出对应于 时的特征矢量 和对应于 时的特征矢量 三、状态空间表达式变换为约当标准型 系统 经过变换矩阵T变换为 其中 称为约当标准型,1. 特征值无重根时 设特征根 所对应的特征矢量为 构造的变换矩阵为 如果特征根互不相等，有 可使 例：将下列状态空间表达式变换为对角线型。,解：（1）求特征根 由 得 ， ， （2）求特征矢量和变换矩阵 由 可求得,特征值有重根时的变换 设 的特征值有 个重根为 ，其余的根互异，则前 个特征矢量可根据下式求得
6、，而其余特征矢量仍按互异方法求得。 其变换矩阵为： 其中： 例：将下列状态空间表达式化为约当标准型。,解：（1）求特征根 由 得 ， ， 由 求得,1.6 从状态空间表达式求传递函数阵,一、传递函数阵 1. 设给定系统为 对上式两边进行零初始条件下的拉氏变换，得 故有,二、系统在各种连接时的传递函数 1. 并联连接 串联连接 反馈连接,1.7 离散系统的状态空间表达式,一、差分方程及传递函数 差分方程 传递函数 Z变换,二、离散系统的状态空间表达式及模拟结构图 1. 状态空间表达式 由 令 则,从而得 按照上式可以画出离散系统的模拟结构图 以三阶系统为例得如下模拟结构图,1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,一、线性时变系统 二、非线性系统 在 附近展开成泰勒级数得 即,本章总结,掌握状态方程、状态空间表达式的概念 掌握标准型、约当标准型、特征矢量和变换矩阵的概念 学会由微分方程求状态空间表达式及传递函数阵画模拟结构图 学会由状态空间表达式画模拟结构图，求传递函数,