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1、第六章 能量法,6-1.应变与余能 6-2.杆件的应变能计算 6-3.虚功原理 6-4.虚位移原理的应用 6-5.位能驻值原理的近似解法 6-6*虚力原理的应用,解析法弯曲梁初参数法，力法，位移法 精确解 能量法复杂结构、复杂载荷 近似解 采用能量原理描述结构的平衡与变形连续条件 功能关系 弹性体：在外载作用下，外力功转变为应变能。 外力卸载变形恢复 非线性（几何非线性、材料非线性）在外载作用下，外力功转变为应变能,能量法 虚功原理,虚位移原理,虚力原理,1、外力功与应变能,应变能 弹性体应变能等于外力功 V=W,2.线性体系,外力功=余功应变能=余能 W+W*,V+V*等于矩形面积， 故均为
2、面积的一半。,能量法分析中，应变能和余能计算很重要，大部分为线性体系 应变能计算方法 （1）取微段 （2）断面力视为外力，微段外力功为变形能 （3）沿杆长积分得杆件应力能 应变能计算方法 拉压，扭转，弯曲，剪切 弹性支座，弹性固定端，弹性基础,6-2.杆件的应变能计算,1.拉伸或压缩,2.扭转,3.弯矩（纯弯曲）,3.弯曲（剪切）,4.弹性支座与弹性固定端,5.弹性基础,*用位移表达的是应变能，用应力表达的是余能,一般情况，杆件同时受到拉伸（或压缩）、扭转和弯曲应力，杆件应变能：,杆系结构，各杆件应变能之和即为整个结构的应变能。 对于一般以弯曲为主的应变能，剪切和拉压应变能可忽略不计。,6-3
3、.虚功原理,虚位移原理： 一组真实力系在任意满足变形协调的虚位移过程中的做功情况，等价于结构的平衡条件； 虚力原理： 任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移过程中的做功情况，等价于变形协调条件,1.虚位移原理 设结构在外力作用下处于平衡状态，如给结构一个虚位移，则外力对虚位移作的功（虚功）必等于结构因虚变形而获得的虚应变能。 虚位移原理是结构处于平衡状态的充分和必要条件 （等价于结构的平衡条件） 虚位移：假象的、可能发生的、无穷小的、满足边界条件、不破坏结构连续性的位移 外力：发生虚位移过程中，外力大小方向不变化。,两端简支梁,必要： 平衡,充分：,平衡,2.虚力原理：如果给一个不破坏平衡条件及
4、静力边界条件的虚变化，并由此产生的变形是协调的，则虚余功必等于结构的虚余能。,6.4虚位移原理的应用,从虚位移原理出发可以引申出各种能量定理来计算结构的位移和变形等本节介绍常用的几种能量定理：位能驻值原理、应变能原理（卡氏第一定理）、单位位移法。,1、位能驻值原理,虚位移原理,外力对虚位移做的功,力函数,总位能,此时表示总位能 有一驻值（极大值或极小值），（6-44）表示“位能驻值原理”。弹性体稳定平衡，总位能极小值，位能驻值原理又称为“最小位能原理：。,（6-44）,（6-43）,（6-42）,（6-41）,例：用位能驻值原理解图6-8之静不定桁架。,1、计算结构应变能 V=v1+V2+V3
5、 2、计算力函数U 3、计算总位能 4、对 求极值，求解未知位移,2.应变能原理,（6-47）,（6-46）,（6-47）称为”应变能原理“或”卡氏第一定理，它代表了结构力的平衡条件，在结构分析中用来建立位移法方程式。,6-5.位能驻值原理的近似解法,1.李兹法（Ritz method）,李兹法（Ritz method）时变分法中的直接法，它是利用位能驻值原理 把变分问题看作是一求一个包含有有限多个变量的普通函数的极值问题。,(6-50),具体步骤 1、将梁的挠曲线V(x)写成级数形式,图6-10中两端自由支持受力均布荷重作用的单跨梁。,李兹法不仅适用于梁的弯曲问题，还可广泛应用于其他结构，如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题。,几种基函数P125,2.迦僚金法,图6.9,图6.8,满足边界条件,4）总位能,5）变分求参数由,得,所以,6）,满足边界条件,4）总位能,5）变分求参数由,取前两项得,，,由,得,由,得,解得,中点挠度,满足边界条件,6.8 考虑剪切的情况,4）总位能,5）变分求参数,6.11 1）图613 对于等断面轴向力沿梁长不变时，复杂弯曲方程为：,取,能满足梁段全部边界条件,6.14图 弹性基础梁平衡方程为：,能满足梁段全部边界条件,