控制系统的时域分析.ppt

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1、1,第三章 控制系统的时域分析,3.1 典型输入信号与系统的性能指标,1、单位阶跃函数输入：,非单位阶跃函数输入 r(t)=b1(t)，则,其拉氏变换为,一、典型输入信号,2,2、单位斜坡函数输入：,非单位斜坡函数输入r(t)=bt，,其拉氏变换为,则,3、单位抛物线函数输入：,拉氏变换为,则,非单位抛物线函数输入 ，,3,4、单位脉冲函数输入,其拉氏变换为,5、正弦函数：当正弦函数作为输入信号时，可以求得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态正弦输出响应，这种响应称为频率响应。,0,4,二、瞬态响应和稳态响应,响应：在输入信号作用下，系统的输出。,瞬态响应：系统从初始状态到最终状态的过渡(动态）

2、过程。,稳态响应： 时，系统的输出。,三、稳定性和稳态误差,5,稳定：线性定常系统在受到扰动作用之后，能返回到原来的平衡状态；,稳定,不稳定,稳态误差：准确度。是描述系统稳态性能的指标，表示系统期望输出与实际输出之间的误差。,6,四、阶跃响应的性能指标,1上升时间tr,2峰值时间tp,3调节时间ts : 取5%(或取2%)作为误差带,4超调量%:,无振荡系统tr,tr,7,5稳态误差ess :,ess=1-c(),当c()=1时 , ess =0 这类系统称为无静差系统。,超调量%、调节时间ts和稳态误差 ess 这三项指标分别评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度。,对单位反馈系统，

3、其单位阶跃响应的稳态误差可表示为,H(s),8,3.2 线性系统的时域响应及一阶系统的时域响应,1.线性系统的时域响应,从前面的讨论可知,描述系统运动规律的高阶微分方程为：,在给定系统输入及系统初始条件下,求系统的输出 ,即求解微分方程。,9,在自控理论中求解系统的输出一般用拉普拉斯变换方法，其过程是：,举例，系统微分方程表达式为,r(t)为单位阶跃输入，系统初始条件为,求系统的输出响应,10,得：,解：取拉氏变换，得,11,2. 一阶系统的时域响应,1）.单位阶跃输入响应,数学模型为一阶微分方程的系统,称为一阶系统。典型一阶系统(惯性环节)的闭环传递函数为 :,T:系统时间常数,12,这种指

4、数曲线的特点是：在时间经过T后，响应只上升到稳态值的63.2%，经过3T达到95%，经过4T达到98%。过渡过程时间（调节时间ts）一般取3T（ 95% ）或4T （ 98% ）。时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则惯性愈小，曲线上升快，输出响应速度也快。,2）.单位脉冲响应,其响应,13,特征根的分布与响应速度,一阶系统的特征根，即Ts+1=0的根，为,14,例1：已知系统框图，求系统的调节时间ts （95%）。,解:,15,放大系数K不影响ts,例2：已知系统框图，分析如下两种情况。,16,当r(t)=1时,(1). c(t)随时间线性增加,(2). c(t)随时间按指数一直

5、增加,开环状态,正反馈,17,3）. 单位斜坡响应,展开成部分分式后求拉氏反变换，得到一阶系统的 单位斜坡响应为,系统输出响应的拉氏变换为,18,若以c（t）表示单位斜坡响应； h（t）表示单位阶跃响应； g（t）表示单位脉冲响应； 则三种输入输出之间的关系有：,1.输入信号间的关系：,2.输出信号之间有与之对应的关系:,线性定常系统的重要特性：输入信号导数的响应，等于原信号响应的导数；输入信号积分的响应，等于对原信号响应的积分。,19,例3、巳知某系统在零初始条件下的单位阶跃响应为： ,求系统的脉冲响应 和传递函数 。,解：,20,3.3 二阶系统的阶跃时域响应,1、二阶系统的构成及传递函数

6、型式,二阶系统也叫振荡环节，其传递函数分母s的阶次为2。,其中： 为阻尼比 为无阻尼自然振荡角频率,它的闭环传递函数为：,21,第2章分析讨论过的RLC串联电路，机械振动系统都属于二阶系统，下图是由运放器构成的二阶系统。,22,23,这里n=1/T， = ,24,2、二阶系统的单位阶跃响应分析,设，,图中: cos= ; : 阻尼角 阻尼线,阻尼振荡角频率,二阶系统的闭环极点为,(1). 欠阻尼情况,衰减系数,25,则系统输出量的拉氏变换为,Letf(t) =F(s-),26,由此可见，系统的暂态分量为振幅随时间按指数函数衰减的周期函数，其振荡频率为d，越大振幅衰减越快。,27,28,2).

7、无阻尼,系统的闭环极点为,29,单位阶跃响应,为无阻尼自然振荡频率,系统为一等幅振荡,3) .临界阻尼情况,系统有两个相重的实数闭环极点。系统对单位阶跃输入的响应为:,30,系统特点：无超调，也无振荡。,31,4) . 过阻尼情况,这时系统有两个不相等的实数极点,对单位阶跃响应的拉氏变换为：,令,则闭环传递函数可写为,32,取拉氏反变换得：, 响应是非振荡的；, 过阻尼二阶系统性能指标只有快速性指标ts;,33, 当P2 4P1时，两个指数项中第三项比第二项衰减得快，这是由于一个极点远离虚轴，它的影响就很小，可以忽略不计，这时二阶系统近似于一个惯性环节。,其调节时间,34,5) . 负阻尼情况

8、,这时系统的两个极点在s右半平面，系统不稳定，暂态响应将随时间增长而发散。,两个正实数极点,因此，可以看出当系统闭环极点在s右半平面时，系统不稳定。,., . 为两个共轭复数极点,35,a. 阻尼比 是二阶系统最重要的特征参数，只要知道 的大小，而不必求解方程，就可知道系统响应的大致情况；,小结:,b.阻尼比过大 ，系统响应迟钝，调节时间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也差。因而阻尼比一般取值为： ，此时快速性和平稳性均较好；,c. 也是系统重要的特征参数。在相同的 下， 越大，系统振荡角频率 越大，致使系统的平稳性变差，但调节时间减小。,d. 称为最隹

9、阻尼比，此时，超调量较小，调节时间(5%误差带)最短。,36,3、欠阻尼二阶系统暂态响应性能指标计算,1) 上升时间 tr,令 得：,37,2) 峰值时间tp,对c(t)求导并令其为0, 得到第一次峰值时间为,系统稳态值 c()=1,将 代入输出响应表达式中,3)最大超调量%,38,超调量完全由决定，,当 时，,称为最佳阻尼比，此时超调量不超过5%。,4) 调节时间,（典型二阶系统框图为单位负反馈）,39,令其c(t)幅值第一次达到稳态值的95%计算,即c(t)进入5%误差带,得:,若按c(t)幅值达到稳态值的98%计算。,40,因此 ,加快系统初始响应速度,例：系统框图如图所示，其中K=10

10、0 ，求系统的 ， 、 和 (按95%计算)； 如果要求系统具有 ，应怎样改变K值？,减小动态过程时间,动态平稳性变差,41,则,计算得：,42,若要求系统的 时，则,4改善二阶系统动态特性的方法,1）附加零点的二阶系统-比例微分控制的 二阶系统,43,图中所示系统的开环传递函数为,上式表明引入微分控制后，使系统等效阻尼比加大，从而使阶跃响应超调量减少，改善了系统的平稳性。,闭环传递函数为,等效阻尼比为,44,系统输出量同时受误差信号及其速率的双重作用。微分控制能在误差信号的值变得太大之前就产生一个适当的校正作用，因此微分控制是一种具有“预见性”的超前控制，可以抑制超调量，减小调节时间，改善系

11、统动态性能，但不直接影响稳态误差。,45,2）. 采用速度微分负反馈改善动态特性,由图可写出系统的闭环传递函数。,等效阻尼比为,故速度反馈亦使系统的阻尼比增大，振荡倾向和超调量减小，系统平稳性得到改善。,46,例： 引入速度反馈的控制系统的动态结构图如图所示。要求系统的阻尼比=0.7，试确定反馈系数Kt，并比较该系统引入速度反馈前后的阶跃响应超调量%和调节时间ts(5%)。,解 ： 系统的闭环传递函数为,47,其,系统的%和ts分别为:,48,引入速度反馈前系统的闭环传递函数为,求得： %=60.5%， tS=8.00(s),n仍为,由2n=1 =0.158,可见引入速度反馈后系统的相对稳定性

12、和快速性都得到了改善。,49,设 R(s)=1/s，用部分分式法，可将C(s) 分解为,3-4 高阶系统的暂态响应,一、高阶系统的瞬态响应,高阶系统闭环传递函数的一般形式为：,50,51,二、高阶系统的简化,1、闭环传递函数的零、极点十分靠近（闭环偶极子）且它们不十分靠近虚轴，可以相互抵消：,称为零、极点对消, 从而降低了系统的阶次。,2、 很小，该暂态分量的影响就小，此项可以忽略。,52,3、具有一对主导极点，系统可以简化为二阶系统。,高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其它极点实部的1/5还小，且其附近不存在零点，则可认为系统的响应主要由该极点决定，这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为

13、主导极点。,一般说来，主导极点常常是一对共轭复数极点。,53,3.5 控制系统的稳定性与代数判据,任何系统，在扰动作用下会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性是指系统扰动消失后，经过一定时间后，由初始偏差状态能恢复原平衡状态，则系统是稳定的；若扰动消失后，系统不能恢复到原平衡状态，而偏差越来越大，则系统是不稳定的。显然，不稳定的系统是不能工作的。所以分析、讨论系统的稳定性，并提出稳定的措施是自控理论的基本任务之一。,1、稳定性的基本概念,54,从例子可以看出，一个控制系统是否稳定，不由扰动或输入决定，而是由控制系统自身性能决定的，是系统自身的一种固有特性。,举例：,55,2、线性定常系统稳

14、定的条件,设单输入单输出系统的微分方程描述为,在零初始条件下，取拉氏变换，得系统传递函数：,系统特征方程为：,56,设特征方程有q个实根， r对共轭复数根 当r（t）=0, 且有短暂扰动输入时，其扰动输出响应的一般式为惯性环节响应加振荡环节响应 。,式中系数 、 和 均为常数。,57,由上式可以看出，线性系统稳定的充分与必要条件是:它的特征方程式的所有实数根均为负数以及共轭复数根具有负的实数部份，这时指数项均随时间而衰减到零，即系统的闭环极点(闭环特征根)均在s平面左半部份。,决定系统稳定性的依据是系统特征方程式根的实数部分是否为负，但要解四阶或更高次的特征方程式是相当困难的。在实际中有多种方

15、法，不求特征方程式的根就能判别系统稳定性，它们都是为了说明系统特征方程式的根在根平面上的分布情况。,3、判别系统稳定性的基本方法,58,1)劳斯赫尔维茨判据（Routh-Hurrvitz）是一种代数方法判别系统的闭环稳定性。,常用的方法有：,2)根轨迹法：即图解法，它是根据系统开环传递函数的零、极点以某一参数为变量作出系统闭环特征根的轨迹。,3)奈魁斯特(NyquisA)判据与波德(Bode)图法，这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法，它可根据开环频率特性确定闭环系统的稳定性。,59,4. 劳斯赫尔维茨稳定判据,设 ,且各项系数均为实数，在判别系统的稳定性时，事先检查一下系统特征方程式的

16、系数是否都是正数，假如有任何系数是负数或等于零（有缺项）则系统是不稳定的。,60,2) 按特征方程式列写劳斯行列表,61,表中,62,在计算上述各元素过程中为了数学上运算简化，可以将某一行所有元素均乘以或除以一个正整数,不影响稳定性判断。,考虑行列表第一列各元素的符号，若劳斯行列表左端第一列各元素均为正数，则特征方程式所有的根均在s左半平面，即系统稳定;若第一列有负数，则系统不稳定,且第一列数符号的改变次数,表示出了位于右半s平面根的个数。,试确定系统的稳定性 。,例1: 系统特征方程式为,63,解：它的所有系数为正实数, 列劳斯行列表如下：,s4 1 12 6 s3 6 11 s2 s1 s

17、0,右端第一列各数均为正实数，故系统是稳定的。,64,因此二阶系统稳定的充分必要条件是各项系数均大于零 。,事实上, 通过因式分解可将特征方程式写成,其根为2，3， 其根均在s左半平面。,对于二阶系统的稳定性， 其闭环特征方程为,二阶系统劳斯表为,65,故三阶系统稳定的充分必要条件是特征方程的各项系数均大于零, 且中间两项系数的乘积减去边上两项系数的乘积要大于零。此判据也叫三阶赫尔维茨稳定判据。,三阶系统 的劳斯表为,66,例2. 系统框图如图所示，试确定系统稳定的k 值范围。,系统的特征方程式为,解： 其闭环传递函数是,即,67,要使系统稳定，其第一列均为正数，即,68,劳斯判据的两种特殊情

18、况,例3. 系统特征方程为s 3+3s 2+s+3=0。 试判别系统的稳定性。,由于第一列的元素全部为正，(是用来代替正的无穷小数)，所以系统在s右半平面没有特征根。而系统又是不稳定的，因此,系统有一对纯虚根（j)。,1). 劳斯表中某一行左边第一个数为零，而该行中其余各元素不全为零或没有。这时已经可以肯定系统不稳定。如果要确知根的性质，可以用一个很小的正数代替这个为零的元素，并继续完成劳斯表。,解 : 劳斯表为,(s +3)(s 2+1)=0,69,2）. 劳斯行列表中第k行所有数均为零，说明在根平面内存在着对称于原点的实根，共轭虚根或对称于实轴的两对共轭复根，在这种情况下可做如下处理：,a

19、利用k-1行的系数构成辅助多项式； b求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行， 以代替全部为零的一行； c继续计算劳斯行列表； d对原点对称的根可由辅助方程求得。,注意：辅助方程的次数通常为偶数且按二次降幂排列，它表明数值相同但符号相反的根数。,70,例4. 闭环系统特征方程为,s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 s3 s2 s1 s0,解:,试用劳斯表判断系统的稳定性，并分析根的分布情况。,F(s)=s4-3s2-4=0,F(s)=4s3-6s=0,4 -6 0,1 -3 -4,0 0 0,-1.5 -4,-16.7 0,-4,第1列数值有一次符号变化，故系统不稳定，且

20、有一个根位于右半s平面。,2， j,(s2+1)(s2-4)=0,71,积分环节的多少决定系统静态、动态特性。,3.6 控制系统的稳态误差,系统按积分环节数分类:,系统总开环增益(传递函数写成时间常数形式)；,设系统的开环传递函数为,式中：,v 系统总开环传递函数中串联积分环节数；,72,v值表示系统开环传递函数中串联积分环节的个数，也就是开环传递函数在s平面坐标原点处有v重极点。,当v=0时，系统称为0型系统 当v=1时，系统称为1型系统 当v=2时，系统称为2型系统,随着开环v值的增大,系统闭环的稳态精度提高，但稳定性却有变差的趋势。,73,系统的稳态误差是指在稳态条件下(即对于稳定系统)

21、，加入给定输入信号后,经过足够长的时间，其暂态过程结束后，稳态响应的期望值与实际值之间的误差。稳态误差是系统控制精度的一种度量。,控制系统的稳态误差有两类，即给定稳态误差和扰动稳态误差。,从输入端定义:,当H(s)=1时,74,这时设扰动 N(s)=0,其中 为系统的开环传递函数。,1、给定稳态误差,75,根据终值定理有:,对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。因此计算稳态误差前，首先应判稳。,1)阶跃输入:,76,(2) 对于1型系统及高于1型的系统,(1) 对于0型系统,2)斜坡输入：,77,(1) 对于0型系统,(2) 对于1型系统,(3) 对于2型系统,78,3)抛物线输入：,(

22、1) 对于0型系统和1型系统,(2) 对于2型系统,79,80, 系统为1型系统，不能跟随 的 分量。, 系统为2型系统,对,其,解：首先判稳，两系统均稳定。,81,例2：已知系统框图,求：有内环反馈和无内环反馈时位置，速度，加速度误差系数。,解：1) 无内环反馈时,系统不稳定,82,2) 有内环后,加入内环后 有所下降，加速度误差增大，但加入内环后对系统的稳定性起到了重要作用。,系统稳定,83,例：下图所示为调速系统的方框图，图中Kh=0.1V/(rad/s)。当输入电压为10V时，试求（1）输出的希望值Cr(rad/s)；（2）稳态值C() (rad/s)；（3）稳态误差ess(V)，并说

23、明该系统是有差系统还是无差系统。,84,解：,85,系统稳定,86,有差系统,87,2、扰动稳态误差,令 R（s）= 0,88,则扰动误差为：,扰动 也有三种输入，若为单位阶跃扰动，,89,90,例3：设系统,求：扰动误差。,解：,若 与 共同作用，则,91,小结：,a、牢记误差的定义，不同的误差定义，其结果可能完全不一样；,b、系统总误差满足迭加原理；,c、即使输入和扰动信号形式一样，但引起的稳态误差可能并不相同；,d、扰动的作用点不同，所产生的稳态误差肯定不同。,e、一般说来，增大系统的开环增益可减小系统的稳态误差，但增大K值，将使系统的稳定程度降低。因此只有兼顾这两方面的要求，适当选择K

24、值。,92,3改善系统稳态精度的方法,从前面分析可知，为了消除或减小系统的给定输入稳态误差，可以增加前向通路积分环节的个数，或增大开环放大系数。为了减小系统的扰动误差，应增加E(s)至扰动作用点之间的积分环节个数，或加大开环增益。但一般系统，串联的积分环节数不能超过两个，开环增益过大会使系统动态性能变坏，甚至造成系统不稳定，为了解决这一问题。可以采用按给定补偿和按扰动补偿的复合控制，从而消除稳态误差。,93,1).按给定输入补偿的复合控制,由图知,误差为,为使ER(s)=0，应保证1Gr(s)G(s)=0,94,2).按扰动补偿的复合控制,设干扰可以直接测量，系统的结构如图所示，其中Gn(s)是补偿器的传递函数。仅有扰动作用时r(t)=0系统的输出为：,95,当,系统的输出完全不受扰动的影响（双通道原理）。,96,本章作业 P70,3-1 3-2 3-3 3-4 3-6 3-7求(s) 3-8 3-9 3-13(2) 3-15 3-18 3-20 3-21,