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1、浙江大学机械电子工程,1,7 Numerical Integration 第7章 数值积分,构造数值积分公式的基本方法与有关概念,7.1 Introduction to Quadrature,数值积分余项,E(Pi)=Rif,数值积分公式的精度,精度为：,例题,The trapezoidal rule n=1,Simpsons rule (n=2),Simpsons 3/8 rule n=3,Booles rule,n=4,牛顿科茨公式余项,梯形公式余项：,辛普森公式余项：,科茨公式余项：,代数精度？,当积分区间比较大时，精度？,7.2 Composite Trapezoidal and Si
2、mpsons Rule,Composite Trapezoidal Rule,Composite Simpson Rule,Composite Bools Rule,复合牛顿科茨公式余项,复合梯形公式余项,复合辛普森公式余项,复合布尔公式余项,例题,7.3 Recursive Rules and Romberg Integration,如何用梯形公式的线性组合计算辛普生逼近？,Recursive Trapezoidal Rule,浙江大学机械电子工程,29,浙江大学机械电子工程,32,浙江大学机械电子工程,34,浙江大学机械电子工程,35,浙江大学机械电子工程,36,Romberg Integ
3、ration,浙江大学机械电子工程,41,浙江大学机械电子工程,43,数值积分在MATLAB中的应用,quad 采用递推自适应Simpson法计算积分;精度较高，较常用 quadl采用递推自适应Lobatto法计算积分;精度高，最常用 trapz 采用梯形法计算积分;速度快，精度差 cumtrapz 采用梯形法计算一个区间上的积分曲线;速度快，精度差 Fnint 利用样条函数求不定积分；与spline、ppval配合使用；主要对付“表格”函数的积分,浙江大学机械电子工程,44,【例 题】,（1）符号解析法 syms x;IS=int(exp(-x*x),x,0,1) vpa(IS) IS =
4、1/2*erf(1)*pi(1/2) ans = .74682413281242702539946743613185,浙江大学机械电子工程,45,（2）MATLAB指令quad和quadl求积,fun=inline(exp(-x.*x),x); Isim=quad(fun,0,1),IL=quadl(fun,0,1) Isim =0.7468 IL =0.7468,（3）10参数Gauss法,Ig=gauss10(fun,0,1) Ig = 0.7463,浙江大学机械电子工程,46,xx=0:0.1:1.5;ff=exp(-xx.2); pp=spline(xx,ff); int_pp=fni
5、nt(pp); Ssp=ppval(int_pp,0,1)*-1;1 Ssp = 0.7468,（4）样条函数积分法,浙江大学机械电子工程,47,x=(0:0.1:1)*2*pi;y=sin(x); pp=spline(x,y); int_pp=fnint(pp); der_pp=fnder(pp); % xx=(0:0.01:1)*2*pi; err_yy=max(abs(ppval(pp,xx)-sin(xx) err_int=max(abs(ppval(int_pp,xx)-(1-cos(xx) err_der=max(abs(ppval(der_pp,xx)-cos(xx) err_y
6、y =0.0026 err_int =0.0010 err_der =0.0253,(1)不定积分样条函数、导数样条函数的求取和精度分析,% 计算y(x)在区间1，2上的定积分 DefiniteIntegral.bySpline=ppval(int_pp,1,2)*-1;1; DefiniteIntegral.byTheory=(1-cos(2)-(1-cos(1); % 计算dy(3)/dx Derivative.bySpline=fnval(der_pp,3); Derivative.byTheory=cos(3); Derivative.byDiference=(sin(3.01)-si
7、n(3)/0.01; DefiniteIntegral,Derivative DefiniteIntegral = bySpline: 0.9563 byTheory: 0.9564 Derivative = bySpline: -0.9895 byTheory: -0.9900 byDiference: -0.9907,(2)不定积分样条函数、导数样条函数的使用,不定积分样条函数可用来计算基础区间中任何区间上的定积分。导数样条函数可以计算基础区间内任何一点的导数。,浙江大学机械电子工程,49,(3)绘制3个样条函数的图形,fnplt(pp,b-);hold on fnplt(int_pp,m:),fnplt(der_pp,r-);hold off legend(y(x),S(x),dy/dx),浙江大学机械电子工程,50,（4）SIMULINK 积分法,This Class Is Over, Thanks for Your Attention!,