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1、3.2立体几何中的向量方法,2个定义,l,方向向量,法向量,方向向量和法向量可得如下结论,l,m,lm,线线平行,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,l,m,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,l,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,l,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,方向向量和法向量可得如
2、下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,线面夹角,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,线面夹角,二 面 角,把立体几何问题转化为向量问题；,把运算结果“翻译”成相应的几何意义。,进行向量运算；,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,例1：如图3.2-3：一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相
3、等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,图3.2-3,解：如图，设,化为向量问题,由向量加法法则，,进行向量运算,所以,结合几何意义回答问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,思考：,（1）本题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,解：如图，设,化为向量问题,由向量加法法则，,进行向量运算,所以,结合几何意义回答问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,例2：如图3.2-4，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和
4、,CD的长为 , AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,图3.2-4,所以,结合几何意义回答问题,例4：如图3.2-7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱 PD 底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF PB交PB于点F. (1)求证：PA 平面EDB. (2)求证：PB 平面EFD. (3)求二面角C-PB-D的大小.,A,P,解：(1)如图，建系，连接AC，EG,可得A、P、E、G坐标，,G,(2)如图，可得,， 的坐标，并且,所以PB DE 由已知PB EF ，从而得证,(3)由于PB 平面EFD，则DF PB ，EF PB，,从而 就是二面角C-PB-D的平面角,设F(x,y,z),则 , 则(x,y,z-1)=k(1,1,-1),即x=k,y=k,z=1-k,又由 ，即（1,1，-1）(x,y,z)=（1,1，-1）(k,k,1-k)=3k-1=0,则k=,则F( , , ),又E(0, , ),可得 ， ，cos = ，所以 =60,得证,