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1、群论（对称性）,任课教师：胡自翔 15223059617 Office：phys201-6,物理学中的群论基础,参考书： 群论及其在固体物理中的应用 徐婉棠，喀兴林，高等教育出版社，1999年版 群论及其在物理中的应用 马中骐，戴安英，北京理工大学出版社，1988年版 物理学中的群论 马中骐，科学出版社，1998年版 “Elements of Group Theory for Physics” 科学出版社，1982年版，John Wiley，（1977） “量子化学中的群论方法” C、D、H奇泽著，汪汉卿等译，科学出版社，1981版 “群论” 韩其智，孙洪洲编著，北京大学出版社，1987年版
2、 “群论及其在物理学中的应用” 李子平，廖理几，新疆人民出版社，1986年版,一、历史： 群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗瓦、西勒维斯特等人初创。 二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理学，成为物理学的一个重要研究工具。,二、群论与对称性 群论是研究系统对称性质的数学工具。 中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳” 古 埃 及：金字塔,群 论 简 介,中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹,中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”,古埃及：金字塔,胡夫金字塔,三、群论及物理学 1物理学中的对称性 空
3、间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变） 动量守恒， 雅科比C.G.J.Jacobi（1884） L在空间转动下对称 角动量守恒，雅科比（1884） L在时间平移下对称 能量守恒，J.R.Schtz（1897） 空间反演（ ）对称 宇称守恒 晶体平移对称性（平移晶格常数 的整数信） Bloch定理 全同粒子交换对称性 玻色子，费米子 标度变换对称性 临界现象，非线性物理，生命起源,强相互作用的SU(2)同位旋对称性 相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。 超对称性 玻色子和费米子之间的对称性，它已在10-331030cm范围内的物理学中产生影响。 在
4、超对称物理中，所有粒子都有它的超对称伙伴，超伙伴与原来的粒子有完全相同的量子数，如：颜色、电荷、重子数、轻子数等。 玻色子的超伙伴是费米子，费米子的超伙伴是玻色子。,2物理学的根本问题：对称性？ 例： 晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计 标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 ,Kac-Moody代数 Virasoro代数 辫子群（Braid group） 重正化群 共形群 量子群 超对称代数 ,以上数学均和物理学中的根本问题，如超弦理论、规范场、宇宙学，凝聚理论，
5、大统一理论等密切相关,第一章 线性代数复习 1.1线性矢量空间，内积空间,并满足：加法公理和乘法公理,1.11线性矢量空间：,加法公理： ） 对易性（commutativity） ） 组合性（associativity） ）集合中有零元 ，对任意 ， 恒有 （null element） )对任何 ，均有逆元(inverse element) ， 使得 （并不是定义减法）,例： n维欧氏空间En , 其中,一般是复数,显然： 且 显然： 还有,1.1.2内积空间（inner product space）,1内积公理 （两矢量乘积变成数的运算，称为矢量的内积） 令 R，定义内积( )，并满足 )
6、( )是非负实数，( )0, 且如果( ) = 0，必有 =0 ) = ) 分配性（distributivity） ),满足以上四个条件的线性矢量空间为内积空间,可推出： ,* - 的模（modulus） or 的范数（norm） * if ，称 -orthogonal,2Schwarz不等式 ，则 。其中：,证明: 为实数,分配性,令左= y 0，则必有 即,例：n 维欧氏空间En , 定义内积 或定义： 满足内积公理,一般是复数,例：在a,b上定义复函数 ，如果 存在，把 看作矢量，定义内积 显然满足内积公理,证明： ) ，如果 ，则,),),),1.1.3 线性矢量空间的维数,2线性无关
7、（linearly independent） 即上面（*）不可能存在，除非C1，C2，Cl均为零。,3完备集（complete set）或基（basis） 若有线性无关矢量 ，对任何 ，均有 存在，则 称为完备集或基，m称为该空间的维数。,4基（basis） 如果基矢量 中，任意一个基均有 ，且 ，则称为正交归一基 (normalized orthogonal basis) 且在 中， 称为 在基 上的分量。,注： 可以是一组函数，如能量的本征函数 , ；付里叶变换中的三角或指数函数，只要满足 即可。,1.1.4 完备集或基总可以正交归一化 Schmidt正交化方法,： ;,： 令 ,令 ,1
8、.1.5 线性变换,满足 的算符称为线性算符。线性算符描写的变换称为线性变换。,矩阵,aij是A的第i行j列矩阵元。 aii是A的对角元素。n等于m时称为m维矩阵。,线性变换 使得 ，即：,将其转置共厄：“+” or,么正变换（Unitary transformation）（酉变换） 矢量模在变换前后不变,要使此式成立，必有 (单位矩阵), 即 称为么正矩阵,正交变换（即实空间中的么正变换） 令 即 必有 “”转置,相似变换（similarity transformation） 有基 ，矢量 ， , 且 现要将基换为 令 若 ，则 or令 , -此类变换称之相似变换,1证明：在内积空间中， 。
9、,证明1：按Schmidt正交化法则，总可找到正交归一基 则 又,1.2 矩阵代数（19世纪中叶形成） 1.2.1 矩阵运算的定义和规律,1）加法： 2）乘法：数： 其中： 一般， 但：,3）直接乘积（direct product） 例： 直接乘积：,列：(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2),行：,例：(2,2)行，(3,1)列,即 超矩阵（super-matrix） 中某一个矩阵称为子矩阵（submatrix）,例：证明,证：,证： 两对角矩阵，,1证明：对角矩阵的直接乘积仍为对角矩阵。,为完全反对称张量，且具有任何一对下标互换，它改符号，下标有重复时为零，
10、且,定义： )单位矩阵： ) 若方阵满足det ( ) = 0 奇异矩阵（singular matrix） )若方阵满足det ( )0 非奇异矩阵（non-singular matrix）,1）证明（第2式）：若 ，令 ， 则 ， 即 两边同乘 得： ,定理：非奇异矩阵 必存在 ，使得 ，且 。,定义：矩阵 的迹,） 证： 同理可证：,）矩阵经过相似变换后，其迹不变 证：,） 证：,1.22 本征值和本征矢量,本征值问题： 其中为常数， 称为 的本征值， 为 的本征矢理。,将(*)写成矩阵形式： 有非零解的充要条件为： -久期方程,1收敛问题： 定义： 只要证明 有界的，则 矩阵中n2个级数
11、也收敛，故 是收敛。,1.2.3 矩阵的指数函数,当 时， 有界,用数学归纳法，证明 是有界：,2定理：若 的本征值为 则 的本征值为,证明：对于 ，有本征矢量n个： ， ，,而,1.3 张量代数 1.3.1 逆变矢量（contravariant vector） 与协变矢量（covariant vector）,例1：n维空间中的矢径 or （ 写在上面的指标定义逆变矢 量，写在下面 定为协变矢量） 变换矩阵 将 变为另一组基 ：,则：,而,不是幂，是标记,即： 但矢量本身没有变，故： 必有： 即： 即,显然有 ,例2：n维空间中的梯度 基 ，分量 , 有标量函数,定义 f 的梯度： 现要变为,即 即,定义：若某一矢量 的变化规律同矢径变化规律相同，即： 称为逆变矢量。 若某一矢量 的变化规律同递度变化规律相同，即 称为协变矢量。 标量,