能带论7.ppt

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1、见黄昆书5.2节p245,本节以一维紧束缚近似下能带论的结果为例，进一步讨论晶体中电子在恒定外电场作用下的运动规律，以加深对Bloch 电子的理解。,在 k 空间中的运动图象 在实空间中的运动图象,6.10 在恒定电场作用下电子的运动,一维紧束缚近似：,i 为某原子能级。设 J1 0，则 k0 点为能带底； k/a 为能带顶。,在能带底 k = 0 和能带顶 k= /a 处，电子速度 v(k)=0； 而在 k= /2a 处， v(k)分别为极大和极小。,一维紧束缚近似下的 E(k), v(k), m*随 k 值的变化如上图。图中只画出一个能带，且只是绘出第一布里渊区。从图中明显看出在带底和带顶

2、处，电子速度为零。中间有极大和极小值，带底处：m*0，带顶处：m*0，中间处 m*。 我们从该图出发讨论恒定电场作用下电子的运动。,在准经典运动中，电子在同一能带中运动。因此，电 子在 k 空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿 E(k) 函数曲线周期性变化，即电子在 k 空间中做循环运动。 可从下页布里渊区图来理解。,一. 在 k 空间中的运动图象,当有电场加在固体上时，固体中的电子被加速，在 k 空间研究它的运动是很方便的。若沿 x 方向加一恒定电 场 E，则电子受到的力： F = e 沿 +x 方向。 由于： ， 得. 这表明电子在 k 空间中做匀速运动。,见黄昆书p247,电子在 k

3、 空间的匀速运动，意味着电子的本征能量沿E(k) 函数曲线周期性变化，当电子运动到布里渊区边界 处， 由于 和 相差一个倒格矢 ，实际代表同一 状态，所以电子从 移出等于又从 移进来。形成 循环运动。,电子在 k 空间的循环运动，表现在电子速度上是 v 随时间 的振荡变化，假设 t = 0 时，电子处在带底，k =0，m*0， 外力作用使电子加速，v 增大，当到达 时， m*，速度 v 到达极大，k 超过该点后，m*0，使反向速 度减小，直至 k = 0 处，v = 0。这就是在恒定外场作用下 速度的振荡。（见前面图）,二. 在实空间中的运动图象,E,x,=0,受电场作用，能带倾斜,电子速度的

4、振荡，意味着电子在实空间（坐标空间）的振荡，因为 E(k) 表示的是电子在周期场中的能量本征值，当有外电场时，会附加一个静电位能 ,使能带发生倾斜，如图所示。,电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。设 t = 0 时电子在较低的能带底 A 点，在电场力的作用下，电子从（能 带底）AB C（能带顶），对应于电子从k = 0 运动到 在 C 点电子遇到能隙，相当于存在一个势垒。在准经典运动 中，电子被限制在同一能带中运动，因此电子遇到势垒后将全 部被反射回来，电子从CB A，对应于k=/a到 k = 0的运 动，完成一次振荡过程。,电场作用下，电子在实空间的运动示意图（黄昆书p248),

5、有两点必须指出： 上述的振荡现象实际上很难观察到。由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的散射，若相邻两次散射（碰撞）间的平均时间间隔为，如果很小，电子还来不及完成一次振荡过程就已被散射。而电子完成一次振荡所需的时间为：,为了观察到电子的振荡过程，要求 T。 在晶体中， 1014 s，a 31010 m，由此可估算出若要观察到振荡现象，需加的电场 2105 V/cm。对金属，无法实现高电场；对绝缘体，将被击穿。,注：一般情况 T 10-5s，10-14s，一个周期内碰撞 109次！？ 振荡现象完全被“冲掉”了,2. 在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被 反射回来。而根据量子力学，

6、电子遇到势垒时，将 有一定几率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的 长度（由外场决定）有关。,对于绝缘体或导电很差的半导体，材料内部会建立很强的电场，导致电子的带间隧穿，称为电击穿，或者齐纳击穿。 相应于电场产生电击穿，强磁场也会造成磁击穿。,在有静电场存在时，Bloch电子在真实空间做周期性振荡，完全与自由电子不同，这是晶体中电子动力学的一个惊人结论。下面给出二维情况的简要描述：,开始电子处于任意点 P，受电场作用，它在 k 空间做直线运动，遇到边界回到对称点，重新开始。,满带电子不导电 未满带电子导电 近满带和空穴导电 导体、绝缘体和半导体,见

7、黄昆书 5.3节p250,虽然所有固体都含有大量电子，但却有导体和绝缘体之分，这一基本事实曾长期得不到严格解释，能带论首次从理论上做了严格说明，是能带论发展初期的重大成就，也由此开辟了金属电导、绝缘体和半导体的现代理论。,6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释,能带中每个电子对电流密度的贡献 -ev(k)，因此带中所有电子的贡献为：,积分包括能带中所有被占据态。,有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。我们分三种情况讨论： 满 带：电子已填满了能带中所有的能态。 导 带：一个能带中只有部分能态填有电子，而其余的能 态为没有电子填充的空

8、态。 近满带：一个能带的绝大部分能态已填有电子，只有少数 能态是空的。,在 k 空间中，对于同一能带有,容易证明，对于同一能带，处于k态和处于k态的电子具有大小相等方向相反的速度。,当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态和k态的几率只与该状态的能量有关。所以，电子占据 k 态和k态的几率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。由于能带相对于 k是对称的，所以，电流密度对整条能带积分后也没有宏观电流，即I0。,一. 满带电子不导电,当存在外加电场时，由于满带中所有能态均已被电子填满，外电场并不改变电子在满带中的对称分布，所以不产生宏观电流，I0。,从速度公式 ，我们可以得到一个重要结果：

9、一个完全充满电子的能带不能形成电流。根据公式可知：,（见右下图）,这可以从能量对称关系中给出。 能带中所有电子产生的总电流密度是：,由于上面的关系，求和为零。 所以满带不能形成电流。,简易说明：,二. 未满带电子导电导带：,下图所示部分填充的能带和满带不同，在外电场作用下，可以产生电流。,不存在电场时，由于电子在能带中的对称填充，非满带也不存在宏观电流。,当存在电场时，由于导带中还有部分没有电子填充的空态， 因而导带中的电子在外场的作用下会产生能级跃迁， 从而使导带中的对称分布被破坏，产生宏观电流，I0。,三. 近满带和空穴导电,在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据的空态，所以在外场的

10、作用下，电子也会发生能级跃迁，导致电子的不对称分布，所以， I 0。 假设近满带中有一个 k 态中没有电子，设 I(k) 为这种情况下整个近满带的总电流。设想在空的 k 态中填入一个电子，这个电子对电流的贡献为ev(k)。但由于填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为 0 。,这表明，近满带的总电流就如同一个带正电荷e，其速度 为空状态 k 的电子速度一样。,在有电磁场存在时，设想在 k 态中仍填入一个电子形成满带。而满带电流始终为0，对任意 t 时刻都成立。,作用在 k 态中电子上的外力为,电子的准经典运动：,而在能带顶附近，电子的有效质量为负值，m* 0。,为正电荷e在电磁场中所受的力。

11、,所以，在有电磁场存在时，近满带的电流变化就如同 一个带正电荷 e，具有正有效质量 m*的粒子一样。,定义：当满带顶附近有空状态 k 时，整个能带中的电流 以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同一个带正 电荷e、具有正有效质量m*和速度v(k)的粒子的情况一 样。我们将这种假想的粒子称为空穴。,两种载流子导电行为 空穴导电性：满带中缺少一些电子所产生的导电性； 电子导电性：导带底有少量电子所产生的导电性。 引入空穴概念后，在金属自由电子论中所无法解释的正Hall系数问题，就很容易解释了。在金属中参与导电的载流子既可以是电子，也可以是空穴。,空穴是一个带有正电荷，具有正有效质量的准粒子。 它是

12、在整个能带的基础上提出来的，它代表的是近满带中 所有电子的集体行为，因此，空穴不能脱离晶体而单独存 在，它只是一种准粒子。,引入空穴概念的必要性的进一步说明： 满带中缺了少数电子就会有一定的导电性，这种近满带的情形在半导体中特别重要，要描述近满带中电子的运动，由于涉及到数目很大的电子的集体运动，因而在表述上十分不便，为此，引入空穴的概念，将大量电子的集体运动等价地变为少数空穴的运动，从而大大简化了有关近满带的问题，使满带顶附近缺乏一些电子的问题与导带底有少数电子的问题十分相似。 还应特别强调：我们虽然赋予空穴有质量、电荷等属性，但它不是客观存在的一种实物粒子，而只是客观实物粒子电子集体运动的一

13、种等价描述，就像声子一样，也是一种”准粒子“或说：元激发,四. 导体、绝缘体和半导体,非导体：电子刚好填满能量最低的一系列能带，而能量再 高的各能带都是没有电子填充的空带。 导 体：电子除填满能量最低的一系列能带外，在满带和 空带间还有部分填充的导带。 半导体：其禁带宽度一般较窄。 常规半导体：如 Si：Eg 1.1eV； Ge： Eg 0.7 eV；GaAs： Eg 1.5 eV 宽带隙半导体：如SiC： Eg 2.3 eV； 4HSiC： Eg3 eV 绝缘体：禁带宽度一般都较宽， Eg 几个eV。 如Al2O3： Eg8 eV；NaCl： Eg6 eV。,半金属：介于金属与半导体之间的中

14、间状态。 电子密度：As：2.11020cm-3; Sb： 5.7 1019cm-3; Bi： 2.7 1017cm-3; Cu： 8.45 1022cm-3 电阻率：Bi：c 127 10-6(cm)；c 100 10-6(cm) Sb：c 29.310-6(cm)；c 38.4 10-6(cm) Cu： 1.55 10-6(cm)；Al：2.5 10-6(cm),由于半导体材料的能隙较窄，因而在一定温度下，有少量电子从价带顶跃迁到导带底，从而在价带中产生少量空穴，而在导带底出现少量电子。因此，在一定温度下，半导体具有一定的导电性，称为本征导电性。电子的跃迁几率exp(-Eg/kBT)，在一

15、般情况下，由于EgkBT，所以，电子的跃迁几率很小，半导体的本征导电率较低。T升高，电子跃迁几率指数上升，半导体的本征电导率也随之迅速增大。,在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上不增加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子散射的几率增大，电子的平均自由程减小。因此，金属的电导率随温度的升高而下降。,如果半导体中存在一定的杂质，其能带的填充情况将有所改变，可使导带中出现少量电子或价带中出现少量空穴，从而使半导体有一定的导电性，称为非本征导电性。,绝缘体的带隙宽，在一般情况下，绝缘体没有可观察到的导电性。,几个实例：,碱金属 晶体结构：体

16、心立方（ bcc）结构，每个原胞中 有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和，最外层的 ns态有一个价电子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 等。 由N个碱金属原子结合成晶体时，原子的内层电子刚好 填满相应的能带，而与外层ns态相应的能带却只填充了 一半。因此，碱金属是典型的金属导体。 贵金属（Cu、Ag和Au）的情况（fcc结构）与碱金属相 似，也是典型的金属导体。,第三族元素也有类似的情况，只不过这时形成导带的是np电子，而不是ns电子。所以，第三族元素的晶体绝大多数为金属。 对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最外层有两个ns电子，如Be：1s22s2；Mg：1s

17、22s22p63s2等。若按对碱金属的讨论，N个碱土金属原子中有2N个ns电子，应刚好填满其相应的ns能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体，而不是非导体。这是由于在这些晶体中，与ns态相应的能带与上面的能带发生重叠，因此，2N个ns电子尚未填满相应的能带就已开始填入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。,周期表中第四族及其以上的元素，由于其电子态和结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能判断是金属还是非金属。 对绝缘体，如：NaCl晶体。Na原子基态：1s22s22p63s1；Cl原子基态：1s22s22p63s23p5。当 Na 原子与 Cl 原子结合成 NaCl 晶体时，Na 的 3s 带比 Cl 的 3p 带高约 6 eV，在Cl的 3p 带中可以填充 6N个电子，但N个 Cl 原子中只有 5N个 3p 电子，于是，在能量较高的 Na 的 3s 带中的 N个电子就转移到能量较低的 Cl 的 3p带中，刚好填满 Cl 的3p带，而 Na 的 3s 带成为空带，其能隙 Eg 6 eV，所以，NaCl晶体为绝缘体。,