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1、第9章 机械振动,扬声器开启后产生声波使颜料滴高速上下振动，声波穿过颜料滴产生意想不到的情景。,本章内容,9. 1 简谐振动 9. 2 旋转矢量法 9. 3 简谐振动的能量 9. 4 一维简谐振动的合成 拍现象,定义：任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.,物体围绕一固定位置来回往复运动称为机械振动. 其运动形式有直线、平面和空间振动.,周期和非周期振动,简谐运动：最简单、最基本的振动.,谐振子：作简谐运动的物体.,例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.,9.1 简谐振动,simple harmonic vibration,振动发声的乐器,9.1.1 简谐振动的特征
2、,弹性系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子。,把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。,(1) 以弹簧振动系统为例,演示,定义：弹性力F的方向始终指向平衡位置，称为回复力。 定义：物体受力F与位移x成正比反向运动称为简谐振动。,(2) 动力学特征,上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是简谐振动的动力学方程。,演示,对于一个给定的弹簧振子，k和m都是正值常量，它们的比值可以用一个常量2表示，即,简谐振动的动力学方程反映的是简谐振动本质，当任何物理系统作简谐
3、振动时，描述系统的物理量（如电流、电场强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。,(3) 简谐振动的运动方程,简谐振动的动力学方程的解为,(4) 简谐运动速度、加速度,取,(5) 振动曲线,从受力角度来看动力学特征,从加速度角度来看运动学特征,从位移角度来看运动学特征,要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； 要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。,(6) 总结、简谐运动的特点,例1：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。,解：,由于单摆运动过程中机械能守恒，即：,两边
4、取时间的微分：,此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度运动为简谐振动。,问题：能量守恒能保证振动一定为简谐振动吗？,例2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开， 证明物体将作简谐振动。,因此 , 此振动为简谐振动。,以平衡位置O为原点,弹簧原长,挂m后伸长,某时刻m位置,伸 长,受弹力,平衡位置,解：求平衡位置,9.1.2 简谐振动的描述,(1) 振幅,(2) 周期、频率与角频率,定义：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期T。,定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的频率。,定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振幅
5、。,因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有,由上式得到,即,周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之为固有周期和固有频率。,动物的心跳（次/分）,昆虫翅膀振动的频率（Hz）,定义：表示物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，称为振动的角频率。,例如对于弹簧振子,(3) 相位和初相,简谐振动：,可见，当振幅 A 和角频率 给定时，物体在 t 时刻的位置和速度完全由t+来确定。,定义：t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。,在t=0时，相位为，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。, t,x,O,A,-A, = 2,相位概念的重要性体现在相位能充分
6、体现简谐振动的周期性。,(4) 振动过程中物体的状态与相位关系,在一次全振动中，不同的运动状态都对应着一个在02 内的相位值。,设有两个简谐振动,相位差为,(5) 相位差,可见，相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异。,两个简谐振动同相,两个简谐振动反向,t,(6) 振幅和初相的确定,初相:所在的象限可以由x0和v0的方向来决定:,取值在第象限,取值在第象限,取值在第象限,取值在第象限,比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？,讨论：,设初始条件下物体的位移为x0，则根据振动方程，当 ， 代入已知条件A=0.12m，x0=0.06m，可得,例3 一物体沿x轴作简谐振动
7、，振幅为0.12m，周期为2s。t=0时，位移为0.06m，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设t1时刻为物体第一次运动到 x = - 0.06m处，试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。,解：由于振子在做简谐振动，因此确定运动方程的具体表达式,由题意知,必须确定其中 A、 及 。,下面求解,又因为,所以,(2) 由题意，在t1 时刻，,此时,因为t1时刻为物体第一次运动到 x=-0.06m 处，所以t1 T,即t1T=2， 可得,解的,设t2 时刻为物体从 t1 时刻运动后首次到达平衡位置，有,所以，从 -0.06m 第一次回到平衡位置所需的时间为,9.2 旋转矢量法,9
8、.2.1 旋转矢量图示法,自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A ，并使矢量 A在 Oxy 平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.,Rotation Vector,9.2.2 旋转矢量与简谐运动的关系,M点运动在x轴投影，为简谐振动的运动方程。,M点速度在x轴投影，为简谐振动的速度。,M点加速度在x轴投影，为简谐振动的加速度。,结论：,这种以一个匀速旋转的矢量 A ，在ox轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。,（旋转矢量旋转一周所需的时间）,(1) 用旋转矢量图画简谐运动的 图,9.2.3 旋转矢量的应用,(2) 旋转矢
9、量法确定初位相。,在第象限,在第象限,在第象限,在第象限,几种特殊位置初位相。,旋转矢量法的优点,把变速直线运动转化为匀速圆周运动 利用该方法可方便地画出x-t,v-t,a-t 图 可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位 方便地进行两个振动的合成,例3 试画出x =Acos(t+/4)的x-t 图线,例4：简谐振动的x-t曲线如右图所示，求振动方程。,解:,当t=0时：,设振动方程为：,由振动曲线知：,.初始条件法：,当t=2时：,.旋转矢量法：,解（1）先求角频率 、振幅A、初相位,由旋转矢量图知=0,所以运动方程为：,例题5：一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数为k=0.72N/m
10、, 物体的质量m =20g. (1)把物体从平衡位置向右拉到x = 0.05m 处停下后再释放, 求简谐运动方程; (2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率; (3)如果物体在x = 0.05m处时速度不等于零, 而是具有向右的初速度v0= 0.30m/s, 求其运动方程.,(2)求A/2处的速度,由运动方程,由旋转矢量图知第一次经过A/2,(3)因x0=0.05m , v0=0.3m/s,又 v0=Asin 0,设 x = A cos( 6 t + ),t=0 时,x0 =Acos ,即：0.05 = 0.07cos,所以 取/4,9.3 简谐振动的能量,(1) 动能,(以弹簧振
11、子为例),O x X,9.3.1 简谐振动的能量,(2) 势能,(3) 机械能,简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简谐运动系统都是成立的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范围，也表征了振动系统总能量的大小。,The energy simple harmonic vibration,9.3.2 简谐运动能量曲线,简谐运动能量守恒，振幅不变,从势能曲线上看出,势能曲线为一抛物线；系统的总能量守恒，为一水平直线；系统的动能为总能量与势能之差。,(3) 应用,例6：如图,弹簧的倔强系数k=25N/m，物块m1=0.6kg，物块 m2=0.4kg ，m1与m2间最大静摩擦系数为=0.5，m1
12、与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振动中m2不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。,解：若m2不从m1上滑落，则m1 与 m2要具有相同的加速度。其最大加速度可表示为 amax=A2 (1),同时m2不从m1上落下应满足,由上式可得最大加速度应为 amax=g (2),联立(1)及(2)两式，可得,把A代入简谐振动能量表达式,9.4.1 同方向同频率谐振动的合成,(1) 解析法,分振动 :,合振动 :,结论：合振动 x 仍是简谐振动,演示,9.4 一维简谐振动的合成 拍现象,Synthesis of one-dimensional simple harm
13、onic vibration Beat phenomenon,(2) 旋转矢量合成法,讨论:,则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强，当 A1=A2 时 , A=2A1,则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，当 A1=A2 时, A=0,若两分振动同相, 即 2 1=2k (k=0,1,2,),若两分振动反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),演示,若两分振动同相，即,当 A1=A2 时 , A=2A1,(3) 讨论:,若两分振动反相,当 A1=A2 时, A=0,加强,减弱,小结,用旋转矢量描绘振动合成图,例7：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方程。,解:
14、,设合振动方程为：,由图可知两个分振动反相，则,由于 ，则,演示,分振动,9.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成 拍,合振动,合矢量A的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋转，所以合矢量A在x轴上的投影x=x1+x2不是做简谐运动.,为了简化起见，假定,且两个简谐振动的频率相差很小,令 则,随 t 缓变,随 t 快变,其中 ，,结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。,振幅 的变化从 2A0 0 ,可见合振动的振幅随时间发生周期性的变化，我们把这种现象称为拍。,由 知,拍发生的角频率为,又因为 ，所以拍频为,拍频的数值等于两分振动频率之差。,两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图,演示,补充：弹簧的串并联,1.弹簧的串联,k为系统的劲度系数，,2.弹簧的并联,