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1、第一节 矩阵的初等变换,扬州大学数学科学学院,线性代数,本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大.,引例,一、消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都
2、是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程
3、组等价,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,例如，,特点：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,三、小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,思考题,已知四元齐次方程组 及另一,四元齐次方程
4、组 的通解为,思考题解答,解,第二节 矩阵的秩,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、矩阵秩的概念,矩阵的秩,例1,解,例2,解,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,问题：经过变换矩阵的秩变吗？,证,二、矩阵秩的求法,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,证毕,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,三、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的
5、方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,思考题,思考题解答,答,相等.,即,由此可知,第三节 线性方程的解,扬州大学数学科学学院,线性代数,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,证,必要性.,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,证,必要性,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行
6、最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1 求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,
7、思考题解答,解,故原方程组的通解为,第四节 初等矩阵,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,一、初等矩阵的概念,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,二、初等矩阵的应用,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,例,解,解,例3,三、小结
8、,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,思考题,思考题解答,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,由初等方阵的性质得,第三章 习题课,扬州大学数学科学学院,线性代数, 初等变换的定义,换法变换,倍法变换,消法变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换,反身性,传递性,对称性, 矩阵的等价,三种初等变换对应着三种初等矩阵, 初等矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ,（）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ,（）消法变换：以数 乘某行（列）加到
9、另 一行（列）上去，得初等矩阵 ,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元,例如, 行阶梯形矩阵,经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0,例如, 行最简形矩阵,对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0,例如, 矩阵的标准形,所有与A等价的矩阵组成的一个集合
10、，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵,定义, 矩阵的秩,定义,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数, 矩阵秩的性质及定理,定理,定理, 线性方程组有解判别定理,齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解,非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解,10 线性方程组的解法,定理,11 初等矩阵与初等变换的关系,定理,推论,一、求矩阵的秩,二、求解线性方程组,三、求逆矩阵的初等变换法,四、解矩阵方程的初等变换法,典 型 例 题,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的各阶
11、子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,一、求矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用,例 求下列矩阵的秩,解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵,注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等
12、行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则,二、求解线性方程组,例 求非齐次线性方程组的通解,解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使 其成为行最简单形,由此可知 ，而方程组(1)中未知 量的个数是 ，故有一个自由未知量.,例 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解,解法一 系数矩阵 的行列式为,从而得到方 程组的通解,解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形,三、求逆矩阵的初等变换法,例 求下述矩阵的逆矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用
13、初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换,四、解矩阵方程的初等变换法,或者,例,解,第三章 测试题,一、填空题(每小题4分，共24分),1若 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 ，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方 程组有无穷多解,2齐次线性方程组,只有零解，则 应满足的条件是 ,4线性方程组,有解的充要条件是,二、计算题,(第1题每小题8分，共16分；第2题每 小题9分，共18分；第3题12分),2求解下列线性方程组,有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时， 求其通解,三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,四、证明题(每小题8分，共16分),(每小题7分，共14分),测试题答案,