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1、第一章 行列式,1.1 二阶与三阶行列式 1.2 n 阶行列式 1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行（列）展开 1.5 克莱默法则,基本要求: 1 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法; 2 了解n阶行列式的定义, 理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行列式; 3 理解和掌握克拉默法则（Cramers rule).,行 列 式determinant,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,第一节 二阶与三阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,
2、对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,三、小结,一、全
3、排列及其逆序数,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,第二节 n阶行列式,问题,定义1,由 个不同地正整数组成的一个有序数组，称为一个n元排列。,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,定义2,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准排列或自然排列.,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，逆序数为3+1+0+1+
4、0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,
5、1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,定义3 将一个n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。,对换会改变排列的奇偶性？,定理1 对换一次改变排列的奇偶性。,证明： （1） 对换的两数相邻。设n元排列为 其逆序数为 ，将相邻两数i，j对换，得到新排列 其逆序数为 ，于是 当 ij 时， 当 ij 时，,所以，一次相邻对换改变排列的奇偶性。,（2） 一般情况。设n元排列为 将两数i，j对换，得到新排列,（2）可看作是由（1）把i依次和 对换，即作了m次相邻对换得到的排列,后，再将（3）中的j依次和 作m1次对换
6、而得。这样由（1）经2m1次相邻对换可得到排列（2），由前面证明可知，排列（2）和（1）奇偶性不同。 证毕,2 排列具有奇偶性.,计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,全排列及其逆序数小结,4 对换一次改变排列的奇偶性,二、 n 阶行列式的定义,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义4,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的
7、需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,例2 计算行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例3 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例4,同理可得下三角行列式,例5 证明对角行列式（主对角线以外全为0的行列式） 和次对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,定理2 n阶行列式 的一般项可以记为,推论 n阶行列式也可以定义为,证明略，见书上Pa
8、ge7,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,性质1,定义：行列式 称为行列式 的转置行列式.,设,第三节 行列式的性质,一、行列式的性质,证明,性质1,性质1说明：,行列式的行与列的地位是对称的，即凡对行成立的的性质对列也成立。 因此，我们下面着重以行来介绍行列式的性质。,性质2 互换行列式的两行 ,行列式变号.,证明 由行列式定义,（列）,交换D的i,k行，得D1,根据定理一，对换一次改变行列式得奇偶性，即：,即：D1D
9、。任意互换行列式的两行（列），行列式变号！证毕！,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，,证明,互换相同的两行，有,则此行列式为零.,性质3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面，即：,推论1 用数k乘行列式D等于D中某一行（列）所有元同乘以数k。,证明,例：,推论2 行列式中如果有两行（列）对应元素成比例,证明,则此行列式为零,性质4 若行列式的第i行（列）的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即：,(1):,(2):,性质5 把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变，即：,说明：使用行列式性质时，为了使过程清晰
10、醒目，约定如下记号：,例,计算行列式的基本方法:,二、行列式性质应用举例,三角化.,计算行列式的主要手段:,解,例,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3,证明,问题：是不是所有的行列式都可以化为三角行列式？,证明,例4,解:,注意: 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,计算行列式常用方法： (1) 利用定义; (2) 利用性质.,行列式的6个性质3个推论,三、小结,性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为0。 性质3 行列式某行（列）的公因
11、子可以提到行列式符号的外面。 推论1 用数k乘以行列式D等于D中某一行（列）所有元素同乘以数k。 推论2 若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为0。 性质4 若行列式的第i行（列）的每一个元都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。 性质5 把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变。,例如,第四节 行列式按行（列）展开,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的元按原来的次序构成 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,例如,定义5：,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除
12、 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,二、行列式按行(列)展开,即有,又,从而,对于一般情形,得,对于一般情形,设,得,得,定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,说明： 计算行列式时，直接利用定理3展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时，应先运用行列式性质，将某一行（列）尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开。,例1,定理4 n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,按 j 行展开：,另一条同理可证。证毕！, 关于代数余子式的重要性
13、质:,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,=,=,n-1阶范德蒙德行列式,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,例3,计算,对行列式按第一行展开，得：,解,对行列式按第一行展开，得：,递推法,解,计算,例3,最后一行和最后列逐次向上和向左换行和换列,得, 行列式按行(列)展开是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,本次课的教学要求,1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。,2、通过练习巩
14、固行列式的性质和运算。,第五节 克拉默法则,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,一、定理5 克拉默(Cramer)法则,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可以表示为,其中：,证明,证明,在把 个方程依次相加，得,由上一节定理3和定理4可知,于是,当 时, 方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,另外，可以证明,例1 用克拉默则解方程组,解,例2 已知多项式函数,解 将 代入函数.由题设得到关于 的线性方程组:,结论1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有
15、解,且解是唯一的 .,结论2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,二、重要结论,齐次线性方程组的相关定理,定理,必有非零解.,另外，以后将证明：若系数行列式,定理6 齐次线性方程组有非零解的充要条件 是系数行列式等于零.,例3 问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,解,因为D=0时，齐次方程组有非零解,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数（方形的）.,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.,三、小结,3. 克拉默法则的不足或缺点:,一般来说, 其计算量较大.,第一章 行列式小结,1.5 克莱默（Cramer）法则,1.1 二阶行列式、三阶行列式,1.2 n阶行列式,1.3 行列式的性质,1.4 行列式按行（列）展开,返回,