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1、课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,2.2-2.3 随机变量的分布函数,一、离散型随机变量的概念,二、离散型随机变量的分布函数,三、常见的离散型随机变量的概率分布,随机变量的分类,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间.,定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量.,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即,概率分布的性质,一、离散型随机变量的概念,F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 x
2、k 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.,二、离散型随机变量的分布函数,注意右连续,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例2.2.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数
3、目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有 P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为,(2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为：,(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,(1) 0 1 分布,注:其分布律可写成
4、,三、常见的离散型随机变量的概率分布,常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,(2) 离散型均匀分布,(3) 二项分布,背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量,若P ( A ) = p , 则,称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作,0 1 分布是 n = 1 的二项分布.,二项分布的图形,例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件试求下列事件的概率： B = 取出的15件产品中恰有2件次品 C = 取出的15件产品
5、中至少有2件次品 ,由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验,解：,所以，,例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合:,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印
6、刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数;,市级医院急诊病人数；,等等.,例3.1.3 设随机变量X 服从参数为的Poisson分布， 且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例3.1.4,由分布率的性质有,解：,(5) 几何分布,设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几 何分布，记 .即,容易验证，若在前 m 次射击中未击落飞机，那么,在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的 无记忆性.,(6) 超几何分布,设有产品
7、件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 此时抽到 件正品的概率为,k=0，1， ，,称X 服从超几何分布.记,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似,(7) 负二项分布（Pascal分布) (自学),(8) 截塔（Zipf）分布 (自学),课堂练习,1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中 出现“4”点的次数,求X的概率函数,提示：,. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,求X的概率分布.,X的概率函数是：,男,女,解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p.,X可取值0,1,2,3,4.,例3设,求 。,解 由定义,由于 是分段表 达的，求 时 注意分段求.,即,