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1、,材料力学II,第三章 能量法,31 概 述,1.能量法：,利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围：,（1）线弹性体；非线性弹性体,（2）静定问题；超静定问题,（3）是有限单元法的重要基础,32 应变能余能,1.应变能,(1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册),拉(压)杆,圆轴扭转,梁弯曲,(2) 非线性弹性体的应变能表达式,对图(a)的拉杆,F在d上所作微功为 dW = F d,F作的总功为：,（F-曲线与横坐标轴间的面积）,由能量守恒得应变能：,(此为由外力功计算应变能的表达式）,类似，可得其余变形下的应变能：,
2、若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为:,F = 11 = ,其伸长量为：, 1 ,则作用于此单元体上的外力功为：,注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W) 为应变能密度:,(-曲线与横坐标轴间的面积）,若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此单元体的应变能为：,整个拉杆的应变能为：,(此为由应变能密度计算应变能的表达式),说明：线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、 V 的特例。由于线弹性的F与或与 成正比，则F曲线或 曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V 和应变能密度v 。,同理，可得纯剪时的应变能密度v为：,例3-1 弯曲刚
3、度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能 。,解：梁的挠曲线方程为：,荷载所作外力功为：,将前一式代入后一式得：,例3-2 原为水平位置的杆系如图a 所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。,解：设两杆的轴力为FN ，则两杆的伸长量均为：,两杆伸长后的长度均为：,由图a的几何关系可知：,代入前一式得：,或：,（几何非线性弹性问题）,其F-间的非线性关系曲线为：,应变能为：,2. 余能,设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b 。,“余功Wc”定义为：,与余功相应的能称为余能Vc，余功W
4、c与余能Vc 在数值上相等。,（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）,即：,另外，也可由余能密度vc计算余能V c：,其中，余能密度vc为：,（代表图c中-与纵坐标轴间的面积）,对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。,注意：,对非线性材料，则余能V c与应变能V 在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。,例3-3 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。,解：,两杆轴力均为：,两杆横截面上的应力为：,所以余能为,余能密度为
5、：,由已知,33 卡氏定理,1.卡氏第一定理,设图中材料为非线性弹性，,由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则应变能的变化为：,因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：,注意到上式与下式在数值上相等,从而有：,（卡氏第一定理 ）,注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。,例3-4 由两根横截面面积均为A的
6、等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。,解：,设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，,先假设结点B只发生水平位移1 （图b）,则：,同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）,则：,当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）,应用卡氏第一定理得,解得：,桁架的应变能为,2.卡氏第二定理,设有非线性弹性的梁，,梁内的余能为：,假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的相应改变量为：,余能的相应改变量为：,由于外力余功在数
7、值上等于余能，得,解得：,（称为“余能定理”）,特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：,（称为“卡氏第二定理”）,式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。,注意：,卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。,实际计算时，常采用以下更实用的形式：,例11-5 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。,3-
8、5,例3-7 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。,解：,在自由端“虚加”外力F,任意x截面处的弯矩为：,例3-8 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布荷载q作用，如图a 所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。,解：,在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b),各支反力如图b。,AB段弯矩方程：,由卡氏第二定理得：,结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。,BC段弯矩方程,例11-9 求图
9、示刚架B截面Bx, By。,解：（1）求Bx：,3-9,（2）求By ：,1、应变能余能,应变能,余 能,2、卡氏定理,卡氏第一定理,卡氏第二定理,上次课回顾,卡氏第二定理的实用形式,桁架结构,梁与刚架结构,34 用能量法解超静定系统,用能量法解超静定系统的步骤： （1）选取基本静定系； （2）建立变形协调条件； （3）求力-位移关系： 应用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位移； （4）求解多余未知力： 将力-位移间物理关系，代入变形协调条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。 （5）进行其他计算。,例3-12 作图示梁的弯矩图，EI为常数。,
10、解：,（1）选基本静定系,（2）变形协调条件,（3）求力-位移关系,q,（4）求解未知力,（5）作弯矩图,例3-13 用能量方法求解图示刚架，并作弯矩图。,解：（1）选基本静定系：,（2）变形条件：C=0,（3）求力-位移关系,弯矩方程及偏导数,x1,x2,X,卡氏第二定理求位移,（4）求解未知力,（5）作弯矩图,0.11ql2,0.0625ql2,例3-14 由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力一应变关系为=K1/n，且n 1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。,解：,（1）选基本静定系统如图b。,（2）变形协
11、调条件:D=0,（3）求力-位移关系:用余能原理,由图b的平衡得各杆轴力：,余能密度为：,总余能为,（4）求解未知力,例3-15 试作图示结构的弯矩图。,（1）基本静定系,（2）变形条件：Bx=0,（3）求力-位移关系：,解：,q,（4）求解：,例3-16 试作图示结构的弯矩图。,（1）基本静定系；,（2）变形条件：Bx=0，By=0；,解：,（3）求力-位移关系：,所以,例3-17 图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。,解：,（1）基本静定系统如图b,（2）变形协调条件,（3）
12、力与位移关系：,其中：,（4）求解补充方程：,补充方程,练习题：作图示刚架的弯矩图，EI为常数。,材料力学II,第六章 动荷载.交变应力,一、静载荷与动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。,二、动响应： 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等），称为动响应。 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。,61 概 述,三、动荷系数：,四、动应力分类：,1.简单动应力
13、： 加速度的可以确定，采用“动静法”求解。,2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加 速度不能确定，要采用“能量法”求之；,3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，疲劳问题。,62 构件有加速度时动应力计算,在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。,计算采用动静法,一、直线运动构件的动应力,例6-1 图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度a提升。试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力。,解：(1) 钢索的轴力：,(2)钢索横截面的动应力：,令 称为动荷因数，则,梁的弯矩：,梁的最大动应力：,例
14、6-2 长度 l=12m 的16号工字钢，用横截面面积为 A=108mm2 的钢索起吊，如图a所示，并以等加速度 a=10m/s2 上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max,于是，工字钢上总的均布力集度为,解：将集度为 qd=Aa 的惯性力加在工字钢上，使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系。若工字钢单位长度的重量记为 qst ，则惯性力集度为,由对称关系可知，两吊索的轴力 （参见图b）相等，其值可由平衡方程 ，,求得,吊索的静应力为,故得吊索的动应力为,由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据
15、代入上式，即得,同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力,由工字钢的弯矩图(图c)可知，Mmax=6qstNm ，并由型钢表查得Wz=21.210-6 m3以及已知数据代入上式，得,(c),例6-3 重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平面上绕O点旋转， 已知许用强度 ，求转臂的截面面积（不计转臂自重）。,强度条件,解：受力分析如图:,二、转动构件的动应力:,例6-4 设圆环的平均直径D、厚度t ，且 tD，环的横截面面积为A，单位体积重量为 ，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建立强度条件。,解：惯性力分析:,内力分析如图,应力分析,强
16、度条件,最大线速度：,63 构件受冲击时动应力计算,冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即,(a),计算采用能量守恒定律,设重量为P的重物，从高度h自由落下，冲击到等截面直杆AB的B端。杆AB长度为l ，横截面面积为A。,一、自由落体冲击问题,则当冲击物速度降为零时，杆AB发生最大伸长d ，则冲击物减少的势能为,(b),假设：1.冲击物变形与回弹可忽略。 2.AB杆质量可忽略。 3.冲击过程的能量耗散可忽略。,而冲击物的初速与终速均为零，故,(c),将(b)(c)(d)代入(a)得,解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得,注意 ，
17、即在静载P下AB杆的伸长，则上式可,简化成,将上式两边乘以 E/l 后得,(1),当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时,对于实际情况，以上计算是偏于安全的。,例6-5 已知：d1=0.3m, l=6m, P=5kN, E1=10Gpa, 求两种情况的动应力。（1）H=1m自由下落；（2）H=1m, 橡皮垫d2=0.15m, h=20mm,E2=8Mpa.,解：（1）,=0.0425 mm,(2),=0.75mm, Kd=52.3,二、不计重力的轴向冲击：,冲击前：,冲击后：,冲击前后能量守恒，且,动荷系数,例6-7 已知：P=2.88kN, H=6cm; 梁： E=100GPa, I=1
18、00cm4, l=1m。柱：E1=72Gpa, I1=6.25cm4, A1=1cm2, a=1m, P=62.8, cr=373-2.15, nst=3。试校核柱的稳定性。,解：（1）求柱的动载荷,（2）柱的稳定性校核,kN,柱是稳定的。,练习题：图(a)所示外伸梁自由端放一重物P，自由端的挠度st=2mm；若该重物从高度h=15mm处自由落下如图(b)所示，冲击到梁的B点，则连得最大动挠度dmax= 。,上次课回顾,1、构件有加速度时动应力计算,（1）直线运动构件的动应力,（2）水平面转动构件的动应力,2、构件受冲击时动应力计算,（1）自由落体冲击问题,（2）水平冲击问题,动响应=Kd 静
19、响应,12-4 交变应力 疲劳极限,交变应力的基本参量,在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。,随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。,通常用以下参数描述循环应力的特征,应力比 r r = -1 ：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环 。 r 0 ：拉拉循环 或压压循环。,(2)应力幅,(3)平均应力,一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。,疲劳极限,将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 均不同
20、，因此疲劳破坏所经历的应力循环次数N各不相同。,以 为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力寿命曲线即S-N曲线如图（以40Cr钢为例）,注：由于在r =-1时， max = /2，故 S-N曲线纵坐标也可以采用 max 。,从图可以得出三点结论：,(1) 对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。,(2) 材料的疲劳寿命N随应力幅 的增大而减小。,(3) 存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称为疲劳极限，记为 -1 。,对低碳钢，其,其弯曲疲劳极限,拉压疲劳极限,对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定 时对应的 称为条件疲劳极限，用 表示。,