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1、1,一、复变函数的定义,1.复变函数的定义:,1.4 复变函数,2,2.单(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,3,4. 复变函数与实变量之间的关系:,例如,4,二、映射的概念,1. 引入:,5,6,3. 两个特殊的映射:,7,且是全同图形.,8,9,根据复数的乘法公式可知,10,(如下页图),11,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,12,以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线),以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线),13,4. 反函数的定义:,14,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.,15,设函数 的定义域为 ，
2、函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的 与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.,5. 复合函数的定义:,16,解,三、典型例题,例1,还是线段.,17,例1,解,18,例1,解,仍是扇形域.,19,例2,解,20,所以象的参数方程为,21,四、小结与思考,复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.,注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.,22,思考题,“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？,23,思考题答案,在复变函数中, 对“函数”、“映射”
3、、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的.,放映结束，按Esc退出.,24,一、指数函数,1.指数函数的定义:,1.5 初等函数,2.指数函数的性质:,25,(2) 模与幅角的性质: 指数函数的定义等价于关系式:,26,(3) 运算性质:,证,27,例1,解,28,29,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,30,31,32,例3,解,33,二、对数函数,1. 对数函数的定义,2. 对数函数的性质,(1)多值性质,34,其余各值为,特殊地,(2) 回归性质,35,例4,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函
4、数是实变数对数函数的拓广.,(3) 负数性质,36,例5,解,37,例6,解,38,39,(4) 运算性质,40,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂的定义,注意:,41,42,特殊情况:,43,2. 幂函数的定义,44,例7,解,答案,课堂练习,45,例8,解,46,47,四、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,48,49,例9,解,50,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,51,(注意：这是与实变函数完全不同的),52,其他复变数三角函数的定义,53,例10,解,54,例11,解,55,例12,解,56,5
5、7,2. 双曲函数的定义,58,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,59,例13,解,60,五、反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,61,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,62,例14,解,63,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 负数无对数的结论不再成立,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,4. 双曲正弦与余弦都是周期函数,64,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,65,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,