2018年中考数学真题分类汇编第一期专题26图形的相似与位似试题含解析20190125377.doc

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1、1 图形的相似与位似图形的相似与位似 一、选择题一、选择题 1 （2018山东枣庄3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平 分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ） ABCD 【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分 线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答 案 【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G， ACB=90，CDAB， CDA=90， CAF+CFA=90，FAD+AED=90， AF 平分

2、CAB， CAF=FAD， CFA=AED=CEF， CE=CF， AF 平分CAB，ACF=AGF=90， FC=FG， B=B，FGB=ACB=90， BFGBAC， =， AC=3，AB=5，ACB=90， BC=4， =， FC=FG， =， 解得：FC=， 2 即 CE 的长为 故选：A 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及 相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE 2 （2018山东滨州3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8） ，B（10，2） ，若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段

3、 AB 缩短为原来的后 得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A （5，1）B （4，3）C （3，4）D （1，5） 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 【解答】解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD， 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的横坐标和纵坐标的一半， 又A（6，8） ， 端点 C 的坐标为（3，4） 故选：C 【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是 解题关键 3 （2018江苏扬州3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等

4、腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M对于下列结论： BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（ ） ABC D 3 【分析】 （1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可； （3）2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证 【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE BAC=EAD BAE=CAD BAECAD 所以正确 BAECAD BEA=CDA PME=AMD PMEAMD MPMD=MAME 所以正确 BEA=CDA PME=AMD P、E、D、

5、A 四点共圆 APD=EAD=90 CAE=180BACEAD=90 CAPCMA AC2=CPCM AC=AB 2CB2=CPCM 所以正确 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推 的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案 4 （2018山东临沂3 分）如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m， 测得 AB=1.6mBC=12.4m则建筑物 CD 的高是（ ） 4 A9.3m B10.5mC12.4mD14m 【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比 例性质求出 CD 即可 【解答】解：EB

6、CD， ABEACD， =，即=， CD=10.5（米） 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测 量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相 似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度 5（2018山东潍坊3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A （2m，2n）B （2m，2n）或（2m，2n） C （m，n）D （m，n）或（m，n） 【分析】根据位似变换的性质计算即可 【解答】解：

7、点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原来的两 倍， 则点 P 的对应点的坐标为（m2，n2）或（m（2） ，n（2） ） ，即（2m，2n）或 （2m，2n） ， 故选：B 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 6.（2018湖南省永州市4 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点， ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（ ） 5 A2B4C6D8 【分析】只要证明ADCACB，可得=，即 AC2=ADA

8、B，由此即可解决问题； 【解答】解：A=A，ADC=ACB， ADCACB， =， AC2=ADAB=28=16， AC0， AC=4， 故选：B 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题， 属于中考常考题型 7 （2018四川宜宾3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已 知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA=1，则 AD 等于（ ） A2B3CD 【考点】Q2：平移的性质 【分析】由 SABC=9、SAEF=4 且 AD 为 BC 边的中线知 SADE=SAEF=2，SABD=S ABC= ，根据D

9、AEDAB 知（）2=，据此求解可得 【解答】解：如图， 6 SABC=9、SAEF=4，且 AD 为 BC 边的中线， SADE=SAEF=2，SABD=SABC=， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB， DAEDAB， 则（）2=，即（）2=， 解得 AD=2 或 AD=（舍） ， 故选：A 【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、 相似三角形的判定与性质等知识点 8（2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的 面积为 4，则ABC 的面积为（ ） A8B12C14

10、D16 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性 质得出答案 【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， DEBC，DE=BC， ADEABC， 7 =， =， ADE 的面积为 4， ABC 的面积为：16， 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADE ABC 是解题关键 9（2018台湾分）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，已知小柔榨果汁时没 有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的

11、使用情形，下列叙述何者正确？（ ） A只使用苹果 B只使用芭乐 C使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多 【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系， 求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论 【解答】解：苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6， 设苹果为 9x 颗，芭乐 7x 颗，铆钉 6x 颗（x 是正整数） ， 小柔榨果汁时没有使用柳丁， 设小柔榨完果汁后，苹果 a 颗，芭乐 b 颗， 小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，

12、 ， a=9x，b=x， 苹果的用量为 9xa=9x9x=0， 芭乐的用量为 7xb=7xx=x0， 她榨果汁时，只用了芭乐， 故选：B 【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹 果和芭乐的数量是解本题的关键 10 （2018台湾分）如图，ABC、FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE 上， 8 G、H 两点在 BC 上，且 DEBC，FGAB，FHAC，若 BG：GH：HC=4：6：5，则ADE 与FGH 的面积比为何？（ ） A2：1 B3：2 C5：2 D9：4 【分析】只要证明ADEFGH，可得=（）2，由此即可解决问题；

13、 【解答】解：BG：GH：HC=4：6：5，可以假设 BG=4k，GH=6k，HC=5k， DEBC，FGAB，FHAC， 四边形 BGFD 是平行四边形，四边形 EFHC 是平行四边形， DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，FGH=B=ADE，FHG=C=AED， ADEFGH， =（）2=（）2= 故选：D 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 11 （2018湖北荆门3 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点， 连接 AF、BE 交于点 G，

14、则 SEFG：SABG=（ ） A1：3 B3：1 C1：9 D9：1 【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题； 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB，CDAB， DE=EF=FC， EF：AB=1：3， EFGBAG， 9 =（）2=， 故选：C 【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型 12 （2018湖北恩施3 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则

15、线段 AE 的长度为（ ） A6B8C10D12 【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的性 质可得出=2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为 EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， AB=CD，ABCD， ABF=GDF，BAF=DGF， ABFGDF， =2， AF=2GF=4， AG=6 CGAB，AB=2CG， CG 为EAB 的中位线， AE=2AG=12 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形

16、的性质以及三角形的中位线，利用相 10 似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键 13. （2018浙江临安3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影 部分）与ABC 相似的是（ ） ABCD 【考点】相似三角形的判定， 【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可 【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135， A、C、D 图形中的钝角都不等于 135， 由勾股定理得，BC=，AC=2， 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和， =， 图 B中的三角形（阴影部分）与ABC 相似， 故选：B 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌

17、握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个 三角形相似是解题的关键 14（2018浙江临安3 分）如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E， 若 AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（ ） 11 ABCD 【考点】相似三角形的判定和相似三角形的性质 【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似， 再根据相似三角形的对应边成比例解则可 【解答】解：DEBC， ADEABC， = 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错 15（2018重庆(A)4 分）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一

18、个三角形的三边长分 别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为 A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm 【考点】相似三角形的性质 【解析解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。 【解答】解：设所求最长边为 xcm两三角形相似， 2.5 59 x ,. 4.5x 故选 C 【点评点评】此题主要考查相似三角形的性质相似三角形的三边对应成比例，该题属于 中考当中的基础题。 16（2018广东3 分）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的 面积之比为（ ） ABCD 【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC

19、 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出 DEBC 及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比 【解答】解：点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点， DE 为ABC 的中位线， DEBC， ADEABC， =（）2= 故选：C 12 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线 定理找出 DEBC 是解题的关键 17（2018 年四川省内江市）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与 A1B1C1的面积比为（ ） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 【考点】S7：相似三角形的性质 【

20、分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可 【解答】解：已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3， 则ABC 与A1B1C1的面积比为 1：9， 故选：D 【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 二二. .填空题填空题 1（2018 年四川省南充市）如图，在ABC 中，DEBC，BF 平分ABC，交 DE 的延长线于点 F若 AD=1，BD=2，BC=4，则 EF= 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质 13 【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可 【解答】解：

21、DEBC， F=FBC， BF 平分ABC， DBF=FBC， F=DBF， DB=DF， DEBC， ADEABC， ，即， 解得：DE=， DF=DB=2， EF=DFDE=2， 故答案为： 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由 DEBC 可得出ADEABC 2 (2018 四川省绵阳市)如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD 垂直相 交于点 O，则 AB=_. 【答案】 【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：连接 DE， AD、BE 为三角形中线， 14 DEAB，DE= AB， DOEAOB

22、， = = = ， 设 OD=x，OE=y， OA=2x，OB=2y, 在 RtBOD 中， x2+4y 2=4 ， 在 RtAOE 中， 4x2+y2= ， + 得： 5x2+5y2= ， x2+y2= ， 在 RtAOB 中， AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4 ， 即 AB= . 故答案为： . 【分析】连接 DE，根据三角形中位线性质得 DEAB，DE= AB，从而得DOEAOB，根据 相似三角形的性质可得 = = = ；设 OD=x，OE=y，从而可知 OA=2x，OB=2y,根 据勾股定理可得 x2+4y2=4，4x2+y2= ，两式相加可得 x2+y2= ，在 RtA

23、OB 中，由股股定 理可得 AB= . 3（2018广东广州3 分）如图 9，CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延长线交于点 E，连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论： 四边形 ACBE 是菱形；ACD=BAE 15 AF：BE=2：3 其中正确的结论有_。 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的 性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线， AO=BO,AOE=BOC=9

24、0,BCAE，AE=BE，CA=CB， OAE=OBC， AOEBOC（ASA） ， AE=BC， AE=BE=CA=CB， 四边形 ACBE 是菱形， 故正确. 由四边形 ACBE 是菱形， AB 平分CAE， CAO=BAE， 又四边形 ABCD 是平行四边形， BACD， CAO=ACD， ACD=BAE. 故正确. CE 垂直平分线 AB， O 为 AB 中点， 又四边形 ABCD 是平行四边形， BACD，AO= AB= CD， AFOCFD， = ， AF:AC=1:3, AC=BE， AF:BE=1:3, 故错误. CDOC, 由知 AF:AC=1:3, 16 , = CDOC=

25、 , = + = = , 故正确. 故答案为：. 【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO,AOE=BOC=90, BCAE，AE=BE，CA=CB，根据 ASA 得AOEBOC，由全等三角形性质得 AE=CB，根据四边 相等的四边形是菱形得出正确. 由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得 BACD，再由平行线的性质得 CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确. 根据平行四边形和垂直平分线的性质得 BACD，AO= AB= CD，从而得AFOCFD， 由相似三角形性质得 = ，从而得出 AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误. 由三角形面积公式得

26、CDOC,从知 AF:AC=1:3,所以 = + = = ,从而得出 故正确. 4（2018广东深圳3 分）在 RtABC 中C=90，AD 平分CAB,BE 平分CBA,AD、BE 相 交于点 F，且 AF=4,EF= ,则 AC=_ 【答案】 【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质 17 【解析】 【解答】解：作 EGAF，连接 CF， C=90， CAB+CBA=90， 又AD 平分CAB,BE 平分CBA, FAB+FBA=45，AFE=45， 在 RtEGF 中， EF= ,AFE=45， EG=FG=1， 又AF=4, AG=3, AE= ， AD 平分CAB,BE 平分CBA,

27、 CF 平分ACB, ACF=45， AFE=ACF=45，FAE=CAF， AEFAFC， , 即 , AC= . 故答案为： . 【分析】作 EGAF，连接 CF，根据三角形内角和和角平分线定义得FAB+FBA=45，再由 三角形外角性质得AFE=45，在 RtEGF 中，根据勾股定理得 EG=FG=1，结合已知条件得 AG=3,在 RtAEG 中，根据勾股定理得 AE= ；由已知得 F 是三角形角平分线的交点，所 以 CF 平分ACB,ACF=45，根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出 AC 的 18 长. 5（2018四川宜宾3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，

28、点 E 为线段 AB 上的动点， 将CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正 确结论的序号） 当 E 为线段 AB 中点时，AFCE； 当 E 为线段 AB 中点时，AF=； 当 A、F、C 三点共线时，AE=； 当 A、F、C 三点共线时，CEFAEF 【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：如图 1 中，当 AE=EB 时， AE=EB=EF， EAF=EFA， CEF=CEB，BEF=EAF+EFA， BEC=EAF， AFEC，故正确， 作 EMA

29、F，则 AM=FM， 在 RtECB 中，EC=， AME=B=90，EAM=CEB， CEBEAM， 19 =， =， AM=， AF=2AM=，故正确， 如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x 则 EB=EF=3x，AF=2， 在 RtAEF 中，AE2=AF2+EF2， x2=（2）2+（3x）2， x=， AE=，故正确， 如果，CEFAEF，则EAF=ECF=ECB=30，显然不符合题意，故错误， 故答案为 【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 6（

30、2018山东泰安3 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有 这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？ ” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正 方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求 出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直线 AC 上）？请你计算 KC 的长为 20 步 【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求 出 CK 的长 【解答】解：DH=100，DK=1

31、00，AH=15， AHDK， CDK=A， 而CKD=AHD， CDKDAH， =，即=， CK= 答：KC 的长为步 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三 角形对应边的比相等的性质求物体的高度 7. （2018山东滨州5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 21 若 AE=，EAF=45，则 AF 的长为 【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF=x，再利用矩 形的性质和已知条件证明AMEFNA，利用相似三角形的性质：对应边

32、的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF 中利用勾股定理即可求出 AF 的长 【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x， 四边形 ABCD 是矩形， D=BAD=B=90，AD=BC=4， NF=x，AN=4x， AB=2， AM=BM=1， AE=，AB=2， BE=1， ME=， EAF=45， MAE+NAF=45， MAE+AEM=45， MEA=NAF， AMEFNA， ， ， 解得：x=， AF= 故答案为： 22 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加 辅助线构造相似三角形是解

33、题的关键， 8 （2018山东菏泽3 分）如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD=90，AOB=60，若点 B 的坐标是（6，0） ，则点 C 的坐标是 （2，2） 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质 【分析】根据题意得出 D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案 【解答】解：分别过 A 作 AEOB，CFOB， OCD=90，AOB=60， ABO=CDO=30，OCF=30， OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，点 B 的坐标是（6，0） ， D（8，0） ，则 DO=8， 故 OC=4， 则 FO=2，

34、CF=COcos30=4=2， 故点 C 的坐标是：（2，2） 故答案为：（2，2） 【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键 9 （2018四川成都3 分）已知 ，且 ，则 的值为_ 【答案】12 【考点】解一元一次方程，比例的性质 【解析】 【解答】解：设 则 a=6k，b=5k，c=4k 23 6k+5k-8k=6，解之：k=2 a=62=12 故答案为：12 【分析】设 ，分别用含 k 的式子表示出 a、b、c 的值，再根据 ，建立关于 k 的方程，求出 k 的值，就可得出 a 的值。 10（2018四川凉州3 分）已知ABCABC且 SABC：SA

35、BC=1：2，则 AB：AB= 1： 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可 【解答】解：ABCABC，SABC：S ABC=AB2：AB2=1：2，AB：AB=1： 【点评】本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方 三三. .解答题解答题 (要求同上一) 1. （2018四川凉州7 分）如图，ABC 在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，3） ，C（6，2） ，并求出 B 点坐标； （2）以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放大后的图形 ABC； （3）计算ABC的面积 S 【分析】 （1）直接利用 A，C

36、点坐标得出原点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质即可得出ABC； （3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可 【解答】解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1） ； 24 （2）如图：ABC即为所求； （3）SABC=48=16 【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关 键画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和关键点； 根据位似比，确定位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 2. （2018山东枣庄8 分）如图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直 径作O

37、 交 AB 于点 D （1）求线段 AD 的长度； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与O 相切？请说明理 由 【分析】 （1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CDAB，易知 ACDABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长 （2）当 ED 与O 相切时，由切线长定理知 EC=ED，则ECD=EDC，那么A 和DEC 就是等 角的余角，由此可证得 AE=DE，即 E 是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 ODDE 即可 【解答】解：（1）在 RtACB 中，AC=3cm，BC=4cm，A

38、CB=90，AB=5cm； 连接 CD，BC 为直径， ADC=BDC=90； A=A，ADC=ACB， RtADCRtACB； 25 ，； （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切； 证明：连接 OD， DE 是 RtADC 的中线； ED=EC， EDC=ECD； OC=OD， ODC=OCD； EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90； EDOD， ED 与O 相切 【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线 的判定等知识 3 （2018山东枣庄10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E

39、 处，过 点 E 作 EGCD 交 AF 于点 G，连接 DG （1）求证：四边形 EFDG 是菱形； （2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AG=6，EG=2，求 BE 的长 【分析】 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到 GD=DF，接下来 依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF； （2）连接 DE，交 AF 于点 O由菱形的性质可知 GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明 DOFADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FOAF，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系； （3）过点 G 作 GHDC，垂足为 H利用

40、（2）的结论可求得 FG=4，然后再ADF 中依据勾股 26 定理可求得 AD 的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最 后依据 BE=ADGH 求解即可 【解答】解：（1）证明：GEDF， EGF=DFG 由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF， DGF=DFG GD=DF DG=GE=DF=EF 四边形 EFDG 为菱形 （2）EG2=GFAF 理由：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O 四边形 EFDG 为菱形， GFDE，OG=OF=GF DOF=ADF=90，OFD=DFA， DOFADF ，即 DF2=FOAF FO=GF

41、，DF=EG， EG2=GFAF （3）如图 2 所示：过点 G 作 GHDC，垂足为 H EG2=GFAF，AG=6，EG=2， 27 20=FG（FG+6） ，整理得：FG2+6FG40=0 解得：FG=4，FG=10（舍去） DF=GE=2，AF=10， AD=4 GHDC，ADDC， GHAD FGHFAD ，即= GH= BE=ADGH=4= 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得 到 DF2=FOAF 是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH

42、的长是解答问题 （3）的关键 4. （2018四川成都8 分）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连 接 交 于点 . （1）求证： 是 的切线； （2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长； （3）若 ， ，求 的长. 28 【答案】 （1）如图，链接 CD AD 为BAC 的角平分线， BAD=CAD. OA=OD， ODA=OAD， ODA=CAD. ODAC. 又C=90， ODC=90， ODBC， BC 是O 的切线. （2）连接 DF， 由（1）可知，BC 为切线， FDC=DAF. CDA=CFD. AFD=ADB.

43、又BAD=DAF， ABDADF, , AD2=ABAF. AD2=xy, 29 AD= （3）连接 EF 在 RtBOD 中，sinB= , 设圆的半径为 r， ， r=5. AE=10,AB=18. AE 是直径，AFE=90,而C=90， EFBC, AEF=B, sinAEF= . AF=AEsinAEF=10 = . AFOD, , DG= AD. AD= , DG= 【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明 ODC=90即可。(2)连接 DF，DE，根据圆的切线，可证得FDC=

44、DAF，再证 CDA=CFD=AED，根据平角的定义可证得AFD=ADB，从而可证得ABDABF，得出 对应边成比例，可得出答案。 （3）连接 EF，在 RtBOD 中，利用三角函数的定义求出圆的半 径、AE、AB 的长，再证明 EFBC，得出B=AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长， 再根据 AFOD，得出线段成比例，求出 DG 的长，然后可求出 AD 的长，从而可求得 DG 的长。 30 5（2018江西6 分）如图，在中，=8，=4,=6,是的平分线， ABCABBCACCD AB BDABC 交于点 ,求的长. BDADEAE E D A C B 【解析解析】 BD 是ABC

45、 的平分线， ABD=CBD CDAB ABD=D CBD=D CD=BC=4 又CDAB ABECDE = CE+AE=AC=6 AE=4 = 4 8 = 1 2 6 （20182018湖北省宜昌湖北省宜昌11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F （1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC； （2）如图 2，求证：BP=BF； 当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值； 当 BP=9 时，求 BEEF 的值