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1、几何综合东城区27. 已知ABC中，AD是的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD 的延长线于点H （1）如图1，若 直接写出和的度数； 若AB=2，求AC和AH的长； （2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明27. （1），；-2分 作DEAC交AC于点E.RtADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.RtCDE中，由，DE=1，可得EC=1.AC. RtACH中，由，可得AH； -4分（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. 易证ACH AFH.,.， . . . -7分西城
2、区27正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接（1）如图，当时，依题意补全图用等式表示与之间的数量关系：_（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值【解析】（1）补全的图形如图所示：（2），连接，（3），点在以为直径的圆上，海淀区27如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.（1）当时，求的长；（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断. 27.解：（1）作交于.，. 1分,. 3分（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如
3、下： 4分当点与点不重合时，延长到使得.,.,是公共边,. 5分作于,于.，. 6分,，四边形为矩形.,.,.,即.当点与点重合时，由上过程可知结论成立. 7分丰台区27如图，RtABC中，ACB = 90，CA = CB，过点C在ABC外作射线CE，且BCE = ，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当= 30时，直接写出CMA的度数；（3）当0 45时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明 27解：（1）如图； 1分（2）45； 2分（3）结论：AM=CN 3分证明：作AGEC的延长线于点G点B与点
4、D关于CE对称，CE是BD的垂直平分线CB=CD1=2=CA=CB，CA=CD3=CAD4=90，3=（180ACD）=（18090）=455=2+3=+45-=455分4=90，CE是BD的垂直平分线，1+7=90，1+6=906=7 AGEC，G=90=8 在BCN和CAG中，8=G，7=6， BC=CA，BCNCAGCN=AG RtAMG中，G=90，5=45，AM=AG AM=CN 7分（其他证法相应给分.）石景山区27在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ（1）依题意补全图1；（2）连接，若点P，Q，D恰好在同一
5、条直线上，求证：； 若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： 27（1）补全图形如图1. 1分 图1 （2）证明： 图2 连接，如图2， 线段绕点顺时针旋转90得到线段， ， 四边形是正方形， ， 3分 ， 在中， 在中， 又， 5分 7分证明：过点A作AEPQ于E ，连接BE ACAE是PAQ的垂线三PAQ是等腰直角三角形（已证）AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线AEP=90，AE=PE正方形ABCDABC=90ACB=BAC=45AEP+ABC=180A ，B，C，E四点共圆AEB=ACB=45，CEB=BAC=45AEB=CEB=45BE=BEABEPBE (
6、SAS)BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，DAB=60，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若ACE=，求AFC 的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明27.（1）补全的图形如图所示.1分（2）解：由题意可知，ECF=ACG=120.FCG=ACE=.四边形ABCD是菱形，DAB=60，DAC=BAC= 30. 2分AGC=30.AFC =+30. 3分（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系
7、为.证明：作CHAG于点H.由（2）可知BAC=DAC=AGC=30. CA=CG. 5分HG =AG.ACE =GCF，CAE =CGF，ACEGCF. 6分AE =FG.在RtHCG中， AG =CG. 7分即AF+AE=CG.燕山区27如图，抛物线的顶点为M ，直线y=m与抛物线交于点A，B ，若AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶(1)由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 (2)抛物线对应的准蝶形必经过B(m，m),则m= ，对应的碟宽AB是 (3)抛物线对应的碟宽在
8、x 轴上，且AB=6.求抛物线的解析式；在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（，），使得APB 为锐角，若有，请求出的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图27.解：(1)MN与AB的关系是 MNAB，MN=AB 2 （2） m= 2 对应的碟宽是4 4 (3) 由已知，抛物线必过（3，0），代入 得， 抛物线的解析式是 5 由知，的对称轴上P（0，3），P（0，-3）时，APB 为直角， 在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得APB 为锐角，的取值范围是 7门头沟区27. 如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，.（1）_；（用含的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM
9、绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N根据条件补全图形；写出DM与DN的数量关系并证明；用等式表示线段与之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 27（本小题满分7分）（1） 1分（2）补全图形正确 2分 数量关系：3分DA平分， ， 4分 5分数量关系：6分证明思路：a.由可得b. 由可得,进而通过,可得 进而得到 c.过可得,最终得到 7分大兴区27如图，在等腰直角ABC中，CAB=90，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BGCF于点G，连接AG （1）求证：ABG=ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间 的等量关系，并证明27.（1）证明: CAB=90. B
10、GCF于点G， BGF=CAB=90. GFB=CFA. 1分 ABG=ACF. 2分（2）CG=AG+BG. 3分证明：在CG上截取CH=BG，连接AH， 4分 ABC是等腰直角三角形， CAB=90，AB=AC. ABG=ACH. ABGACH. 5分 AG =AH,GAB=HAC. GAH=90. . GH=AG. 6分 CG=CH+GH=AG+BG. 7分平谷区27在ABC中，AB=AC，CDBC于点C，交ABC的平分线于点D，AE平分BAC交BD于点E，过点E作EFBC交AC于点F，连接DF（1）补全图1；（2）如图1，当BAC=90时，求证：BE=DE；写出判断DF与AB的位置关系
11、的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当BAC=时，直接写出，DF，AE的关系图2 图127解：（1）补全图1；1 （2）延长AE，交BC于点H2 AB=AC， AE平分BAC，AHBC于H，BH=HC CDBC于点C， EHCD BE=DE3延长FE，交AB于点G 由AB=AC，得ABC=ACB 由EFBC，得AGF=AFG 得AG=AF 由等腰三角形三线合一得GE=EF4 由GEB=FED，可证BEGDEF可得ABE=FDE5 从而可证得DFAB6 （3）7怀柔区27.如图，在ABC中，A=90，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90，得到线段AE，连结E
12、C.(1)依题意补全图形；(2)求ECD的度数；(3)若CAE=7.5，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路 27. (1)如图 1分(2) 线段AD绕点A逆时针方向旋转90，得到线段AE.DAE=90，AD=AE.DAC+CAE =90.BAC=90,BAD+DAC =90.BAD=CAE . 2分又AB=AC,ABDACE.B=ACE.ABC中，A=90，AB=AC,B=ACB=ACE=45.ECD=ACB+ACE=90. 4分(3).连接DE,由于ADE为等腰直角三角形，所以可求DE=；5分.由ADF=60,CAE=7.5，可求EDC的度数和
13、CDF的度数，从而可知DF的长；6分.过点A作AHDF于点H，在RtADH中, 由ADF=60，AD=1可求AH、DH的长； . 由DF、DH的长可求HF的长；. 在RtAHF中, 由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长7分延庆区27如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BFDE于点F，连接FC（1）求证：FBC=CDF（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG依据题意补全图形；用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明 图127.（1）证明：四边形ABCD是正方形，DCB =90CDF+E =90BFDE，FBC+E =90FBC =CDF
14、2分（2） 3分猜想：数量关系为：BF=DF+CG 证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM四边形ABCD是正方形，BC=DCFBC =CDF，BM=DF，BMCDFCCM=CF，1=2MCF是等腰直角三角形MCF =90，4=45 5分点C与点G关于直线DE对称，CF=GF，5=6BFDE，4=45， 5=45，CFG =90，CFG=MCF，CMGFCM=CF，CF=GF，CM=GF，四边形CGFM是平行四边形，CG=MFBF=DF+CG 7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FHAE于点H，射线FH分别交AB、CD
15、于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF（1）依题意补全图形；（2）求证：FAC=APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明27（1）补全图如图所示 1分 （2）证明正方形ABCD，BAC=BCA=45，ABC=90，PAH=45-BAEFHAEAPF=45+BAEBF=BE，AF=AE，BAF=BAEFAC=45+BAFFAC=APF 4分 （3）判断：FM=PN 5分 证明：过B作BQMN交CD于点Q，MN=BQ，BQAE正方形ABCD，AB=BC，ABC=BCD=90BAE=CBQABEBCQAE=BQAE=MNFAC=APF，AF=FPAF=AE，AE=FPFP=MNFM=PN 8分21