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1、第二 章 函数、导数及其应用,第十节 函数模型及其应用,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,备考方向要明了,1三种增长型函数模型的图象与性质,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,y轴,x轴,2三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0) 在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长 xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有 .,快于,axxn,(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0) 对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会 y
2、xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有 . 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有 .,慢于,axxnlogax,logaxxn,1(教材习题改编)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( ) Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x),答案： B,2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时 剩下的高度h(c
3、m)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 ( ),答案：B,解析：由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.,3某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售， 后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利 ( ) A25元 B20.5元 C15元 D12.5元,答案： D,解析：九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，此时每件还获利112.510012.5元,答案：ya(1r)x，xN*,4(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金 为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_,5有一批材料可以建成200 m的
4、围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围 成一块矩形场地，中间用同样的材 料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计),答案： 2 500 m2,1解函数应用题的步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的 数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型， 将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论,2解函数应用题常见的错误： (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的
5、限制条件,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),1(2012广州月考)为了发展电信事业方便用户，电信公 司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示,则通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式分别为_，_.,2(2012抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直 角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？,冲关锦囊,1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一 次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大 于
6、0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数 模型，利用一次函数的图象与单调性求解 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、 利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二 次函数图象与单调性解决 3.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域,精析考题 例2 (2012日照模拟)据气象中心 观察和预测：发生于M地的沙尘暴 一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km),(1)当t4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用
7、数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由,3(2011惠州二模)2011年8月世界大学生运动会在深圳举 行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元),(1)写出该特许专营店一年内
8、销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)； (2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值,冲关锦囊,1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同， 可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出 来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别 是端点值 2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不 重不漏.,(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),4(2012宜昌联考)
9、某医药研究所开发的 一种新药，如果成年人按规定的剂量 服用，据监测：服药后每毫升血液中 的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近 似满足如图所示的曲线 (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？,冲关锦囊,1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际 问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题 可以利用指数函数模型来表示； 2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定 模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定 函数模型 3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函
10、数的性质求解,答题模板（二）函数应用问题的答题流程,考题范例 (12分)(2012天津质检)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元,(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？,(2)设可在n年内脱贫， 依题意有12n45050 00058 0000， 解得n20. 即最早可望在20年后脱贫 (12分),题后悟道 解函数应用题的一般程序是： 第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；本题条件是价格提高，销量降低，支出固定，结论是求余额,第二步：建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；本题是列出P与L的函数关系 第三步：求模：求解数学模型，得到数学结论；求出P的取值 第四步：还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义本题是确定销售价格,点击此图进入,