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1、第三单元 三角函数、解三角形,第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1. 角的分类(按旋转的方向) 正角：按照 方向旋转而成的角。 角 负角：按照 方向旋转而成的角。 ：射线没有旋转,逆时针,顺时针,零角,2. 象限角,3. 终边落在坐标轴上的角,a|a=2kp，kZ,a|a=(2k+1) p,a|a=kp，kZ,4. 与角终边相同的角(连同角在内)的集合记 为 5. 角度与弧度的换算关系：360 rad； 1 rad；1 rad . 6. 扇形弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角为(rad)，半径为r，则 (1)l ； (2)扇形的面积为S .,b|b=a+2kp，k
2、Z,2p,|a|r,7. 任意角的三角函数的定义 为任意角，的终边上任意一点P(异于原点)的坐标为(x，y)，它与原点的距离|OP|r (r0) 则,8. 三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号,+,-,+,-,+,-,-,+,+,-,+,-,(2)三角函数线,ON,OM,AT,基础达标,1. 与2 012终边相同的最小正角为( ) A. 212 B. 222 C. 202 D. 232 2. (教材改编题)已知cos tan 0，那么角是( ) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角,A,C,解析：2 01
3、2=5360+212，应选A,解析：cos qtan q0，当cos q0， tan q0时，q是第三象限角；当cos q0， tan q0时，q是第四象限角,3. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4,C,解析：设扇形的圆心角为a rad，半径为r，则 解得a=1或a=4.,4. 设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有( ) A. abc B. bac C. cab D. acb,C,解析：画出-1在单位圆中对应角的三角函数线，知tan(-1)sin(-1)cos(-1)，即cab.,5.
4、(教材改编题)已知角的终边经过点P(1,3)，则 sin ，cos ， tan .,-3,解析：,经典例题,题型一 终边相同的角的表示 【例1】 已知角是第二象限角，判断2， 的终边各在第几象限？,解：由a是第二象限角，得 k360+90ak360+180(kZ) (1)2k360+1802a2k360+360(kZ)， 2a是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上 (2)k180+45 k180+90(kZ) 当k=2n(nZ)时，n360+45 n360+90(nZ)，则 是第一象限角； 当k=2n+1(nZ)时，n360+225 n360+270(nZ)，则 是第三象限角 综合、可知
5、， 是第一或第三象限角,题型二 利用三角函数的定义求三角函数值 【例2】 已知角的终边经过点P(x， )(x0)，且 cos x，求sin 、tan 的值,解： P(x，- )(x0)， P到原点的距离r= . 又cos a= x，cos a= = x. x0，x= ，r=2 . 当x= 时，P点坐标为( ，- )，由三角函数定义，有 sin a=- ，tan a=- ； 当x=- 时，P点坐标为(- ，- )， 由三角函数定义，有sin a=- ，tan a= .,变式21 已知角的终边过点P(4m,3m)(m0)，求2sincos的值,解析：当m0时，点P在第二象限，|OP|=5m， 有2
6、sin a+cos a= + = ； 当m0时，点P在第四象限，|OP|=-5m， 有2sin a+cos a= + =- .,题型三 三角函数值符号的判定 【例3】 如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，试判断角所在的象限,解：点P(sin qcos q，2cos q)位于第三象限， 即 q为第二象限角,题型四 弧度制、扇形面积公式的应用 【例4】 已知一扇形的圆心角60，所在圆的半径r10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 解,解：设弧长为l，弓形面积为S弓， a=60= ，r=10，l= p(cm)， S弓=S扇-S= p10- 102sin =50 (cm2),变式41 已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值,分析：设扇形弧长为l，半径为r，由S= lr，得l= ，故扇形周长C=2r+l=2r+ . r0，S0，C2 =4 ，当且仅当2r= ，即r= 时，扇形周长有最小值4 ，此时，扇形的中心角a= = = =2 rad. 故当扇形中心角为2 rad时，扇形周长最小，最小值为4 .,