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1、2.82.8 函数模型及其综合应用 挖命题 【考情探究】 5 年考情 预测热 考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 度 1.了解指数函数、对数 函数模型及其综合 函数模 2018 浙江,11 解二元一次方程组 函数以及幂函数的变化 应用 型及其 特征. 综合应 函数模型及其综合 2.能利用给定的函数模 2014 浙江,17 三角函数模型 用 应用 型解决简单的实际问题. 分析解读 1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的 函数模型解决简单的实际问题. 2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学 生应用数学知识分析和
2、解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中 等难度题(例:2017 浙江 17 题). 3.预计函数模型及其综合应用在 2020 年高考中出现的可能性很大,应高度重视. 破考点 【考点集训】 考点 函数模型及其综合应用 1 1.(2018河南商丘模拟,12)已知函数 f(x)=-x3+1+a( x e,e是自然对数的底数)与 g(x)=3ln e x 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( ) 1 A.0,e3-4 B.0, e3 + 2 1 C. + 2,e 3 - 4 D.e3-4,+) e3 答案 A 2.(2017江西九江七校联考,20)某店
3、销售进价为 2 元/件的产品 A,该店产品 A 每日的销售量 10 y(单位:千件)与销售价格 x(单位:元/件)满足关系式 y= +4(x-6)2,其中 20,函数 f(x)单调递增;在( ,6)上, f (x) 0. f(x)|x|恒成立,则 a 的取值范围是 . 1 答案 ,2 8 4.(2015四川,13,5 分)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时. 答案 24 5.(2
4、014湖北,14,5 分)设 f(x)是定义在(0,+)上的函数,且 f(x)0,对任意 a0,b0,若经过 点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b关于函数 f(x)的平均数,记 + 为 Mf(a,b).例如,当 f(x)=1(x0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数. 2 (1)当 f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; 2 (2)当 f(x)= (x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 . + (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1) (2)
5、x 5 6.(2018江苏,17,14 分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此 圆弧的中点)和线段 MN构成.已知圆 O 的半径为 40米,点 P 到 MN的距离为 50 米.现规划在此农 田上修建两个温室大棚,大棚 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚 内的地块形状为CDP,要求 A,B均在线段 MN上,C,D均在圆弧上.设 OC与 MN 所成的角为 . (1)用 分别表示矩形 ABCD和CDP 的面积,并确定 sin 的取值范围; (2)若大棚 内种植甲种蔬菜,大棚 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之 比为 43.求当 为何值时,能使甲
6、、乙两种蔬菜的年总产值最大. 解析 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设 PO的延长线交 MN 于 H,则 PHMN,所以 OH=10 米. 过 O 作 OEBC 于 E,则 OEMN,所以COE=, 故 OE=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形 ABCD 的面积为 240cos (40sin +10) =800(4sin cos +cos )平方米, CDP 的面积为240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米. 过 N 作 GNMN,分别交圆弧和
7、OE 的延长线于 G 和 K,则 GK=KN=10 米. 令GOK=0,则 sin 0=,0(0,6). 当 2)时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, 0, 1 所以 sin 的取值范围是 ,1). 4 答:矩形 ABCD的面积为 800(4sin cos +cos )平方米,CDP 的面积为 1 600(cos -sin 1 cos )平方米,sin 的取值范围是 ,1). 4 (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43, 6 所以设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k0). 则年总产值为 4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(co
8、s -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), 2). 0, 设 f()=sin cos +cos , 2). 0, 则 f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1), 令 f ()=0,得 =, 当 ( 6)时, f ()0,所以 f()为增函数; 0, 当 ( 2)时, f ()0,g(t)是增函数. 从而,当 t=10 2时,函数 g(t)有极小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 3. 答:当 t=10 2时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3千米. 评析
9、 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分 析和解决实际问题的能力. 【三年模拟】 一、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 16分) |12 - 4| + 1, 1, 1.(2019届镇海中学期中考试,17)设函数 f(x)= 若存在互不相等的 4 个实 ( - 2)2 + a,x 1, (1) (2) (3) (4) 数 x1,x2,x3,x4,使得 = = = =7,则 a 的取值范围为 . 1 2 3 4 答案 (6,18) 2.(2018浙江重点中学 12月联考,11)我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载:“三 百七十八里关,初日健步不为
10、难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天才到达目的 地.”则该人第一天走的路程为 里. 答案 192 9 3.(2018浙江宁波高三上学期期末,17)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC=1,AD=CD= 2,DAB=DCB=90,点 P 为 AD的中点,M,N分别在线段 BD,BC 上,则 PM+ 2 MN的最小值为 . 2 答案 1 4.(2018浙江嵊州高三质检,17)已知函数 f(x)=x2+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值为,则实数 a 的值为 . 答案 二、
11、解答题(共 20分) 5.(2018浙江杭州高三 5 月模拟考试,18)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美 的享受.如图为一花窗中的一部分,呈长方形,长 30 cm,宽 26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框) 用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成 轴对称.设菱形的两条对角线长分别为 x cm和 y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为 L cm. (1)试用 x,y表示 L; (2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为130 cm2,那么做这样一个窗芯至 少需要多长的条形木料(不计卯榫及其他损耗)? 30 - 2 2
12、6 - 解析 (1)水平方向每根支条长为 m= =(15-x)cm,竖直方向每根支条长为 n= 2 =(13 - 2 2) 2 2 2 + 2 cm,菱形的一条边长为 (2) + (2)= cm. 2 所以 L=2(15-x)+4(13 - 2)+8 2 + 2 2 =82+4 2 + 2-2(x+y). 260 (2)由题意得 xy=130,即 y= , 10 15 - 2, 130 由得 x13. 13 - 2, 11 2 2 260 260 所以 L=82+4 2 + ( )-2( + ). 260 260 令 t=x+ ,求导得 t(x)=1- . 2 130 当 x13 时,t(x)
13、0,所以 L=82+4 2 - 520-2t在 t33, 11 2 - 520 上为增函数, 故当 t=33,即 x=13,y=20 时,L有最小值 16+4 569. 所以做这样一个窗芯至少需要(16+4 569)cm 长的条形木料. 6.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数 f(x)=|x2-2mx-n|(m,nR). (1)当 n=3m2时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)记函数 f(x)在区间-1,1上的最大值为 M,若 Mk 对任意的 m,n恒成立,试求 k 的最大值. 解析 (1)当 n=3m2时, f(x)=|x2-2mx-3m2|=|(x+m)(x-3m)|,函
14、数 y=x2-2mx-3m2的对称轴为直 线 x=m. 故当 m0 时,函数 f(x)在区间(-,-m上为减函数,在区间-m,m上为增函数,在区间m,3m上 为减函数,在区间3m,+)上为增函数. 当 m=0 时,函数 f(x)=x2在区间(-,0上为减函数,在区间0,+)上为增函数. 当 m1时,g(x)在区间-1,1上是单调函数,则 f(x)在区间-1,1上的最大值在两端点处取 得,故 M 应是 f(-1)和 f(1)中较大的一个. 2Mf(1)+f(-1)=|1-2m-n|+|1+2m-n|(1-2m-n)-(1+2m-n)|=4|m|4,M2. 当|m|1 时,g(x)在区间-1,m上
15、是减函数,在区间m,1上是增函数, 此时,M=maxf(-1), f(m), f(1). 由 g(-1)-g(1)=(1+2m-n)-(1-2m-n)=4m,g(1)-g(m)=(m 1)20. 11 (i)若-1m0,g(m)g(-1)g(1), |g(-1)|max|g(m)|,|g(1)|. 则 M=max|g(1)|,|g(m)| (|g(1)|+|g(m)|)|g(1)-g(m)|= (m-1)2. (ii)若 0. 故当|m|1 时,M. 综合(i)(ii)知,对于任意的 m,n,都有 M. 1 而当 m=0,n=时, f(x)=| 2 - 2|在区间-1,1上的最大值为 M=, 故 Mk 对任意的 m,n 恒成立的 k 的最大值为. 12