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1、福建省厦门外国语学校2019届高三数学1月月考试题 理一、选择题1.已知集合，则 （ ）A B C D2. “”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则 （ ） ABCD 4. 若，（常数），则点的轨迹是 （ ）A 椭圆 B 线段 C. 椭圆或线段 D椭圆或直线是否5.已知实数满足，则的最小值为（ ）A B C D6. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善 了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有 题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见
2、花喝一斗,三 遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序 框图，若输出的值为0，则开始输入的值为 （ ）A. B. C. D.7.已知函数的最大值为2，且满足， 则 （ ） A B C.或 D或8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 （ ）A B C. D9.已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A BCD10.已知等腰直角中，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B）， 沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 给定两个单位向量， ，且，点在以为圆心
3、的圆弧上运动， ，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 12. 已知数列的前项和为，数列为，若，则( )A. B. C. D. 二、填空题13. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数 14. 过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的 为 15. 如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为 16.已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别是。若对任意的，恒成立,则实数a的取值范围是_三、解答题17. （本小题12分）已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，且.（）求数列和的通项公式；（）设，求
4、数列的前项和.18.（本小题12分）在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为（I）若，求点的坐标；（II）若，且在中，角，的对边分别为，求的最大值19.（本小题12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形。（）证明：直线面；（）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。20. （本小题12分）在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，
5、若四边形的面积等于，求直线的方程.21. （本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数（1）若时，求曲线的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围【请从22，23题中任选一题答在22题位置】22（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围23.（本小题10分）已知函数.()当时，解不等式；()当时，恒成立，求的取值范围.1.已知集合，则 （ A ）A B C D2. “”是“”的
6、（ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则 （ D ） ABCD 4. 若，（常数），则点的轨迹是 （ C ）A 椭圆 B 线段 C. 椭圆或线段 D椭圆或直线是否5、已知实数满足，则的最小值为（ C ）A B C D6. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善 了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有 题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三 遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序 框图，若输出的值为0，
7、则开始输入的值为 （ C ）A. B. C. D.7.已知函数的最大值为2，且满足， 则 （ C ） A B C.或 D或8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 （ B ）A B C. D9已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是 （ D ） A BCD10. 已知等腰直角中，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B）， 沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（ D ） A. 1 B. C. D. 11. 给定两个单位向量， ，且，点在以为圆心的圆弧上运动， ，则的最小值为 （ B ）A. B. C. D. 因为， 所以有最小值
8、-1.12. 已知数列的前项和为，数列为，若，则( D )A. B. C. D. 13. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数 114. 过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的方程为 15. 如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积 为 16已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别 是。若对任意的，恒成立,则实数a的取值范围是_17. （本小题12分）已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，且.（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前项和.解：（）由条件可知，得，于是， ，解得，又数列是等比
9、数列，则公比为，于是，又，于是， 解得. （）由题意得， . 18.（本小题12分）在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为（I）若，求点的坐标；（II）若，且在中，角，的对边分别为，求的最大值试题解析：（I）由题意，因为，所以，即又，所以，所以点的坐标为19.（本小题12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形。（）证明：直线面；（）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。解：（）依题意，在平面中，又平面，平面 ；同理，在平面中，平面 ； 面， 面，面，面，由可得，平面平面
10、.又面，所以直线面.（本题可先证明后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）（）设的中点为，以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知， ，,.设，.可得，设为平面的法向量，由有，可取，又面的法向量可取，所以，所以，又，。存在满足条件的点，为中点。20. （本小题12分）在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值（1）求动点的轨迹的方程；（2）（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四边形的面积等于，求直线的方程.解：（1）由已知得曲线是以为圆心，为半径的圆.设，则到直线的距离等于，又到
11、圆上的点的距离的最小值为，所以由已知可得，化简得， 所以曲线的方程为.（2）21. （本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数（1）若，求曲线的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：（1）略（2），依题意，当时， 即当时，； 设，则， 设，则当时，从而（当且仅当时，等号成立）， 在上单调递增，又，当时，从而当时，在上单调递减，又，从而当时，即， 于是当时，；当时，令，得，故当时，在上单调递减，又，当时，从而当时，在上单调递增，又，从而当时，即，于是当时，不符合题意综上所述，实数的取值范围为22（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为
12、极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围解：（1）曲线的直角坐标方程为，即，将代入并化简得曲线的极坐标方程为，由，两边同时乘以，得，将代入得曲线的直角坐标方程为 （2）设射线的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且 联立，得， 联立，得 所以，即的取值范围是 23.（本小题10分）已知函数.()当时，解不等式；()当时，恒成立，求的取值范围.解：（I）当时，有所以或或，所以或或， 综上，不等式解集为（）当时，恒成立，有.恒成立. 或恒成立.或恒成立，当时， 或 恒成立，解得不存在；解得：. 综上知，.14