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1、三 数列的综合应用 注:本节内容供选用 数 列 综 合 题 例1(2008 天津 文)已知数列an中， 且 (I)设 证明：bn是等比数列； (II)求数列an的通项公式； (III)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任 意的nN，an是an+3与an+6的等差中项 解: (I)由题设 得 即 又 所以bn是首项为l，公比为q的等比数列 (II)由(I)知， 将以上各式相加，得 所以当n2时， 上式对n=1时显然成立 (III)由(II)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项， 故q1 由 可得 由q0得 整理得 解得 或 (舍去)于是 另一方面 由可得 所以对任意的
2、nN*,an是an+3与an+6的等差中项 例2(2008 江西 理)等差数列an的各项均为正整数， a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且 b2S2=64,b 是公比为64的等比数列 (1)求an与bn； (2)证明： 解:(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数， 依题意有 由(6+d)q=64知q为正有理数，又由 知，d为6的因 子1，2，3，6之一， 解得 d=2, q=8， 故 (2) 由(1)知 所以 解决这类问题时这类问题时 要熟悉等差，等比数列 的定义义，有关公式及其主要性质质；注意方程的 思想，整体思想解决问题问题 。 数 列 在 实 际 问 题
3、中 的 应 用 例3(2008 北京 理)某校数学课外小组在坐标纸上为学校 的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点 pk(xk,yk)处，其中x1=1,y1=1当k2时， T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2， T(0.2)=0 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第 2 008棵树种植点的坐标应为 (1，2) (3，402) 解析：依题意知，xk的值呈周期出现，依次是l，2，3 ，4，5，故 yk的值满足 故 即第6棵树的种植点的坐标为(1，2)，第2 008棵树的 种植点的坐标为(3，402). 例4. 从盛满aL (a1)纯酒精的容器里倒出1L，然后填满 水，再
4、倒出lL混合溶液后又用水填满，如此继续下去 ，问：第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2，至少 应倒几次后才能使酒精浓度低于10? 分析: 构造等比数列的模型求解 解：开始的浓度为l，操作一次后溶液的浓度是 设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n+1次后溶液的 浓度为 由此便建立了数列模型 因为an构成以首项 公比 的等比数 列，所以 即第n次操作后酒精的浓度是 当a=2时，由 得 因此，至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10。 例5. 某林场原有森林木材存量为a万m3，木材每年以 25的增长率增长，而每年冬天要砍伐的木材量为x万 m3为了实现经过20年达到木材存量翻两番的目标， 则x的最大值
5、是多少? 分析: 如果设第n年底木材存量为an万m3，则这里要实 现的目标是a204a, 问题是a20为多少? 解法l：设第n年底木材存量为an万m3，则 这表明数列an-4x是一公比为 首项为a1-4x的等比 数列，则 令 即 解得 解法2：(迭代法)由解法2，有 以下同解法1 小 结 解数列应用题重点把握好三关： (1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容. (2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语 言,用数列关系式表述事件(必要时要寻找出问题中所 包含的数列的递推关系); (3)数理关:由题意建立相关的数列模型,将实际问题数 列化,并解答这一数列模型,得出符合实际意义的解答. 解题的关键是把握好以下三个步骤: 寻找问题所涉 及的数列模型 是数列求和问题 还是求通项问题 是列方程还是 列不等式来求解