《三次样条插值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三次样条插值.ppt（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.6 三次样条插值 问题：1. 为什么引进分段低次插值？ 2. 分段线性和分段二次插值有何特点？ 3. 分段Hermite插值有何特点？ 4. 是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一 个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次 插值函数呢？ 2.6.1 三次样条函数 上是三次多项式，其中 是给定节点， 若函数 且在每个小区间 则称 是节点 上的三次样条函数. 若在节点 上给定函数值 （7.1） 则称 为三次样条插值函数. 定义3 并成立 由于 在每个小区间 上有4个待定系数， 共有 个小区间，所以共有 个待定参数. 由于 在 上二阶导数连续，所以在节点 处应满足连续性条件 这些共有 个
2、条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个条件才能确定 （7.2） 通常可在区间 端点 上各加一个条件 1. 已知两端的一阶导数值，即 （7.3） （7.5）称为自然边界条件. 2. 已知两端的二阶导数，即 其特殊情况为 （7.4） （7.5） 常见的边界条件有以下3种：（称为边界条件）， 此时插值条件（7.1）中 . 这样确定的样条函数 称为周期样条函数. 这时边界条件应满足 （7.6） 3. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求 也是周期函数. 方法一：利用分段三次Hermite插值多项式求 下面利用 的一阶导数值 表示 . 故 在区间 上应满足 于是由Hermit
3、e插值多项式得三次样条表达式： 2.6.2 样条插值函数的建立 有n+1个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。 下面利用 的二阶导数值 表示 . 由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数， （7.7） 对 积分两次并利用 及 ， 可表示为 可定出积分常数，于是得三次样条表达式 方法二：利用Lagrange插值多项式求 这里 是未知的. （7.8） 为了确定 ,对 求导得 （7.9） 利用 和边界条件可得Mj . 试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 例5 设 为定义在 上的函数，在节点 上的值如下： 由此得矩阵形式的方程组如下： 解 求解得 代入（7.8）得 （曲线见图2-6） 图2-6 给定函数 节点 用三次样条插值求 取 直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值. 例6 现将三种插值结果画在一起： 2.6.3 误差界与收敛性 定理5 则有估计式 其中 设 为满足第一种或第二 种边界条件的三次样条函数， 令 这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差 估计. 还说明了当 时， 及其一阶导数 和 二阶导数 均分别一致收敛于 ， 及