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1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理 需解决的问题 3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法) 这是为了 即 下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 证明: 即 反之 故对上式两边求导,得 且 构造Picard逐步逼近函数列 问题:这样构造的函数列是否行
2、得通, 即上述的积分 是否有意义? 注 命题2 证明:(用数学归纳法) 命题3 证明: 考虑函数项级数 它的前n项部分和为 对级数(3.9)的通项进行估计 于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有 现设 命题4 证明: 即 命题5 证明: 由 综合命题15得到存在唯一性定理的证明. 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 构造Picard逐步逼近函数列 命题2 命题3 命题4 命题5 2 存在唯一性定理的说明 3 一阶隐方程解存在唯一性定理 定理2考虑一阶隐方程 则方程(3.5)存在唯一解 满足初始条件 三 近似计算和误差估计 求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里 注:上式可用数学归纳法证明 则 例1 讨论初值问题 解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超 解 由于 由(3.19) 例2 求初值问题 解的存在唯一区间. 解 例3 利用Picard迭代法求初值问题 的解. 解与初值问题等价的积分方程为 其迭代序列分别为 取极限得 即初值问题的解为 作业 P78 1,3,4,8