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1、第三章 多元线性回归模型 主要内容 n多元线性回归模型的一般形式 n参数估计（ OLS估计） n假设检验 n预测 一. 多元线性回归模型 n问题的提出 n解析形式 n矩阵形式 问题的提出 n现实生活中引起被解释变量变化的因素并非仅 只一个解释变量，可能有很多个解释变量。 n例如，产出往往受各种投入要素资本、劳 动、技术等的影响；销售额往往受价格和公司 对广告费的投入的影响等。 n所以在一元线性模型的基础上，提出多元线性 模型解释变量个数 2 多元线性回归模型的假设 n解释变量 Xi 是确定性变量，不是随机变量；解释变量 之间互不相关，即无多重共线性。 n随机误差项具有0均值和同方差 n随机误差
2、项不存在序列相关关系 n随机误差项与解释变量之间不相关 n随机误差项服从0均值、同方差的正态分布 多元模型的解析表达式 多元模型的矩阵表达式 矩阵形式 二. 参数估计(OLS) n参数值估计 n参数估计量的性质 n偏回归系数的含义 n正规方程 n样本容量问题 1.参数值估计(OLS) 得到下列方程组 求参数估计值的实质是求一个k+1元方程组 正规方程 变成矩阵形式 正规方程 矩阵形式 最小二乘法的矩阵表示 2.1最小二乘估计量的性质 n（1）线性（估计量都是被解释变量观测值的线性组合 ） n（2）无偏性（估计量的数学期望=被估计的真值） n（3）有效性（估计量的方差是所有线性无偏估计中最 小的
3、） OLS估计量的性质（续） 线性 无偏性 有效性 2.2 OLS回归线的性质 n完全同一元情形： 2.3 随机扰动项方差的估计 注解：k与k+1 n凡是按解释变量的个数为k的，那么共有k+1 个参数要估计。而按参数个数为k的，则实 际有k-1个解释变量。总之两者相差1而已！ 要小心所用的k是什么意思！ n所以如果本来是用解释变量个数的k表示的 要转换成参数个数的k则用k-1代换原来的k就 可以了！ 3.偏回归系数的意义 n多元回归模型中的回归系数称为偏回归系数 n某解释变量前回归系数的含义是，在其他解释 变量保持不变的条件下，该变量变化一个单位 ，被解释变量将平均发生偏回归系数大小的变 动
4、4.正规方程 n由最小二乘法得到的用以估计回归系数的线性 方程组，称为正规方程 正规方程的结构 nY 被解释变量观测值 n x 1 nX 解释变量观测值（含虚拟变量n x (k+1) ） nXX 设计矩阵（实对称(k+1) x (k+1)矩阵 ） nXY 正规方程右端 n x 1 n 回归系数矩阵（ (k+1) x 1 ） n 高斯乘数矩阵， 设计矩阵的逆 n 残差向量（ n x 1 ） n 被解释变量的拟合（预测）向量 n x 1 5.多元回归模型参数估计中的样本容量问题 n样本是一个重要的实际问题，模型依赖于实际 样本。 n获取样本需要成本，企图通过样本容量的确定 减轻收集数据的困难。 n
5、最小样本容量：满足基本要求的样本容量 最小样本容量 n k+1 n(XX)-1存在| XX | 0 XX 为k+1阶的满秩阵 nR(AB) min(R(A),R(B) nR(X) k+1 n因此，必须有nk+1 满足基本要求的样本容量 n一般经验认为： n 30或者n 3(k+1)才能满足模型估计的基本 要求。 n 3(k+1)时，t分布才稳定，检验才较为有效 第三节 多元线性回归模型的 检验 n本节主要介绍： n3.1 拟合优度检验（判定系数及其校正） n3.2 回归参数的显著性检验（t检验） n3.3 回归方程的显著性检验（F检验） n3.4 拟合优度、t检验、F检验的关系 3.1.1 拟
6、合优度检验 总平方和、自由度的分解 n目的：构造一个不含单位，可以相互比较， 而且能直观判断拟合优劣的指标。 n类似于一元情形，先将多元线性回归作如下 平方和分解： 对以上自由度的分解的说明 3.1.2 判定系数 n判定系数的定义： n意义：判定系数越大，自变量对因变量的解释 程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分 比高。观察点在回归直线附近越密集。 n取值范围：0-1 3.1.3 校正判定系数 n为什么要校正？ n判定系数随解释变量个数的增加而增大。易 造成错觉：要模型拟合得越好，就应增加解 释变量。然而增加解释变量会降低自由度， 减少可用的样本数。并且有时增加解释变量 是不必要的。 n导
7、致解释变量个数不同模型之间对比困难。 n判定系数只涉及平方和，没有考虑自由度。 n校正思路： 引进自由度校正所计算的平方和。 校正判定系数 （续） 3.2 回归参数的显著性检验 t检验 以下给出t-检验的具体过程 3.3 回归方程的显著性检验 （F检验） n 回归系数的t检验，检验了各个解释 变量Xj单独对应变量Y是否显著；我们还 需要检验：所有解释变量联合在一起， 是否对应变量Y也显著？ n这即是下面所要进行的F-检验。 3.3.1 方差分析表 以下用表格的形式列出平方和、自由度、方差 平方和 来源 平方和自由度均方和 源于回归K-1 源于残差n-k 总平方和n-1 3.3.2 F检验（单侧
8、检验） 3.4 各种检验之间的关系 n3.4.1 经济意义检验和其他检验的关系联系： 判断一个回归模型是否正确，首先要看模 型是否具有合理的经济意义，其次才是统计检 验。 3.4.2 拟合优度和F检验的关系 （1）都是对回归方程的显著性检验； （2）都是把总平方和分解，以构成统计量 进行检验； （3）两者同增同减，具有一致性。 拟合优度和F检验的关系（续 ） n区别： （1）F检验中使用的统计量有精确的分 布，而拟合优度检验没有； （2）对是否通过检验，判定系数（校正判 定系数）只能给出一个模糊的推测；而F 检验可以在给定显著水平下，给出统计 上的严格结论； 3.4.2 F检验和t检验的关系
9、n在一元的情形，两者是一致的，等价的 。对单个解释变量显著性进行t检验，也 就检验了解释变量的整体显著性（F检验 ）；并且可以证明：Ft2 （所以在一元情形，只需要进行一种检验 ） n多元中，不存在以上关系。 回归模型假设检验的步骤 n查看拟合优度，进行F检验，从整体上判断回归方程是 否成立，如果F检验通不过，无须进行下一步；否则进 行下一步 n查看各个变量的t值及其相应的概率，进行t检验，如果 相应的概率小于给定的显著水平，该自变量的系数显 著地不为0，该自变量对因变量作用显著；否则系数与 0无显著差异（本质上=0），该自变量对因变量无显 著的作用，应从方程中删去，重新估计方程。 n但是，一次只能将最不显著（相应概率最大）的删除 。每次删除一个，直至全部显著。 3.5多元线性回归模型的预测 举例：新股发行抑价的实证研究