刚体.ppt

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1、刚体力学基础 第4章 刚体的定轴转动,对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。 物体是有形状大小的，它可以作平动、转动，甚至更复杂的 运动。一般固体在外力的作用下，形变并不显著，故设想另 一个抽象模型 刚体。以刚体为研究对象，除了研究它的 平动外，还研究它的转动以及平动与转动的复合运动等。,刚体：,形状和大小都不变的物体,任意两质点之间的距离保持不变的质点系,4.1 刚体及刚体定轴转动的描述,1、刚体的平动,刚体在运动过程中，体内任意两点的连线在运动中始终保持平行。,刚体的平动可以简化成质点来处理,刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动。,2、刚体的定轴转动,刚体运动时，如果刚体上所有

2、质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转轴固定的称为定轴转动。,本章研究刚体的定轴转动,刚体的一般运动可看成平动与转动的叠加,3、描述定轴转动的物理量,角坐标,角位移,角速度,由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，大拇指的指向即为角速度的方向。,角速度 的方向：,在定轴转动中 的方向沿转轴,刚体上任意一点的线速度 与角速度 的关系：,写成矢量式,角加速度,定轴转动中 的方向沿转轴，与 的方向相同或相反.,线量与角量的关系：,对于定轴转动,注意: 刚体内各质元的角量相同，线量一般不同。,4.2 定轴转动定律,1、对转轴的力矩,垂直转轴的平面称为转动平面,力

3、 对轴的力矩 定义为:,写成矢量式,的大小:,刚体受到图示的外力作用，设 在转动平面上。,的方向垂直转动平面, 即沿转轴方向。,2、定轴转动定律,刚体看作一个质点系, 任取一个质点,质量为 ,它到转轴的距离为 ,作用于 上的外力为 ,内力为 。( 设 和 都在转动平面内),以 及 表示 及 沿切向的分力，由牛二定律，有,两边乘 并对i求和,为所有内力对转轴的力矩的代数和，即合内力矩。,为所有外力对转轴的力矩的代数和，即合外力矩， 用 M 表示。,称为刚体对定轴的转动惯量,用 J 表示。,即:,转动惯量的定义式,转动定律在刚体力学中的地位与牛二定律在质点动力学中的地位相当。,转动惯量的定义,J

4、的大小与下列因素有关,(3) 与转轴的位置有关。,3、转动惯量及其计算,(2) 刚体质量一定时，与质量分布有关；,(1) 与刚体的质量大小有关；,刚体定轴转动定律,转动定律与牛二定律比较可知, 与 对应, 与 对应, J与 对应; 所以刚体的转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,(1) 分立质点,例1: 计算长为L, 质量为m的均质细棒的转动惯量。（1）对通过棒的一端并与棒垂直的轴；（2）对通过棒的中心并与棒垂直的轴。,(2) 质量连续分布的刚体,转动惯量的计算,解:,(1) 在x处取质量元,它对轴的转动惯量,整条棒,（2）同一棒绕过中心轴的转动惯量,例2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，

5、求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解：,在 处取宽度为 的细环,均质圆盘,几种常见的刚体的转动惯量见书 p99页,4、转动定律的应用,例3、质量 M = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。,用转动定律解题的基本步骤与用牛顿第二定律解题的步骤相似。,解：,分别隔离滑轮和重物, 画出它们的受力图, 如图所示,对重物由牛二定律, 对滑轮由转动定律列方程如下:,例4、质量为 m1 和 m2 的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量

6、为J，求两物体的加速度。,解：,分别隔离滑轮和重物, 画出它们的受力图, 如图所示,联立以上方程求得:,例题 求棒的打击中心.棒球运动员击球的效果如何， 取决于击球点的位置是否合适.理论分析表明，存在 这样一个击球点（如图），使手握的约束力为零.这 个最佳位置被称为打击中心.,解：如图，设手握处为参考点0，棒 的质心位置为 ，击球点的位置为r. 击球瞬间反弹的球给棒一冲击力f, 手给棒一约束力 ，列出运动方程,解出,令 ， 得到打击中心位置为,列上述方程中未计及重力，这是因为击球瞬间棒基本 上运动于一水平面.,力矩和转动惯量必须对同一转轴而言,具有瞬时性。 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角

7、加速度,角速度的正负 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程,用转动定律解题注意点：,5、平行轴定理*,若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Jz 为,称为平行轴定理,如图，若,则：,1、力矩的功,4.3 转动中的功和能,刚体在外力 作用下转过一微小角位移 。力的作用点的位移为,在 上的元功为：,刚体在外力矩 M 作用下转过一有限角位移 时，力矩的总功,2、刚体的转动动能 转动动能定理,刚体中任意一质元的动能：,刚体的转动动能：,定轴转动的动能定理,即：合外力

8、矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,把质点系动能定理应用于刚体,质点系动能定理,对刚体，因为 ， 换成外力矩的功，平动动能换成转动动能, 就得到刚体定轴转动的动能定理,3、刚体的重力势能,刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。,任一质元的重力势能,刚体的重力势能,设刚体的质心相对零势能位置的高度为,则,即：刚体的重力势能等于刚体的质量集中在质心处的质点的重力势能,4、刚体的机械能守恒定律,例5 质量为3m 、长为 2l 的均质细杆，转轴在 o 点，两端各固定质量分别为2m和m的小球。系统从静止开始由水平位置绕o点转动。求: (1) 系统对o 轴的转动惯量； (2) 水平位置时系

9、统的角加速度;（3）转到垂直位置时的角速度。,解：,(1)系统对o轴的转动惯量,(2)水平位置时系统的角加速度,由转动定律,所以,（3）通过垂直位置时的角速度, 有三种解法,(解1) 用转动定律,任意位置的运动方程由转动定律有,求得,此刚体组+地球系统, 只有重力作功, 机械能守恒,(解2) 用转动动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量,求得,(解3) 用机械能守恒定律,求得,1、质点的角动量,质点对O点的角动量：,kg m2s-1,4.4 对定轴的角动量定理 及角动量守恒定律,质点作匀速率圆周运动：,2、刚体对定轴的角动量,的方向沿定轴，可用正、负表示方向。,刚体看成许多质点组成,任意

10、一质元 对轴的角动量大小为,整个刚体的角动量,3、定轴转动的角动量定理,由刚体定轴转动定律：,对力矩作用的时间积分,即：刚体角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。,式中 是力矩对时间的积分, 称为冲量矩。,或写成矢量式,4、角动量守恒定律,角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。,即：,质点力学、刚体力学有关公式对照表,质点系角动量定理 （参考内容）,对t求导，利用质点角动量定理，则得,体系角动量定理的积分形式,体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩,二、质点系角动量守恒,质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化 有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对

11、角动量在体系内 的分配是有作用的.,(3) 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中.,(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以 分别守恒. （a）若 ，则 . （b）若 , 则 . （c）若 ，则 ., 关于总外力矩 M=0，有三种不同情况： （a）对于孤立系统，体系不受外力作用. （b）所有外力都通过定点. （c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩M=0.,讨论：,角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产生了季节变化.,角动量守恒的现象:,(1) 在r处取一宽度为dr的圆环, 如图所示. 其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为,解:

12、,圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为,(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法 ?,解1 用转动定律,求得:,解2 用角动量定理,碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为,例7 质量为m1, 长为l 的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，可绕通过其端点o并与桌面垂直的固定光滑轴转动. 今有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰, 设碰撞时间极短. 已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为v1和v2, 方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。,解:设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守

13、恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量守恒定律, 有,又设棒开始转动到停止转动所需时间为t , 由角动量定理,联立 解得,例8、一长为 l ，质量为 M 的杆垂直悬挂, 杆可绕支点O自由转动。一质量为 m ，速度为 v 的子弹射入距支点为 a 的棒内,若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少? (先练习！),解：,子弹与杆碰撞的过程角动量守恒,子弹连同杆上摆的过程机械能守恒,例9、质量为 M ，半径为 R 的转台，可绕中心轴转动。设质量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？,解：,角动量守恒：,问题1、一

14、个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的,（A）机械能守恒 , 角动量守恒; （B）机械能守恒 , 角动量不守恒, （C）机械能不守恒 , 角动量守恒; （D）机械能不守恒 , 角动量不守恒.,问题讨论,问题2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的,例题 A 一匀质细棒长为l , 质量为m, 可绕通过其端点O的水平轴转动. 当棒从水平位置自由释放后, 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞. 该物体的质量也为m, 它与地面的摩擦系数为. 相撞后, 物体沿地面滑行一距离s 而

15、停止. 求: 相撞后棒的质心C离地面的最大高度h, 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件.,碰撞时间极短, 冲力大, 系统的对O轴的角动量守恒,(2),2) 碰撞过程,由式(1)-(4)联立求解, 得,4) 棒碰撞后的过程,除重力外, 其余内力与外力都不作功, 故机械能守恒, 即,例题B 质量很小, 长度为l 的均匀细杆, 可绕通过其中心点O并与纸平面垂直的轴在竖直平面内转动, 当细杆静止在水平位置时, 有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为l/4处, 并背离点O向细杆的端点A爬行。设小虫的质量与细杆的质量均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行.,O,l/

16、4,m,v0,r,q,P,A,A,解: 小虫落在细杆上, 可视为完全非弹性碰撞, 且碰撞时间极短. 重力的冲量矩可略去不计, 细杆带着小虫一起以角速度 转动. 碰撞前后, 小虫与细杆的角动量守恒,故由上式可得细杆角速度为,(1)(3)式联立求解得:,考虑到=t , 并且将值代入上式得:,而,解: 把演员视为质点, M, N和跷板作为一个系统, 以通过点C垂直平面的轴为转轴. 由于作用在系统上的合外力矩为零,故系统的角动量守恒,例题C 一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端, 并把跷板另一端的演员N弹了起来. 设跷板是匀质的, 长度为l, 质量为m,支撑板在板的中点C, 跷板可绕点

17、C在竖直平面内转动, 演员M, N的质量都是m. 假定演员M落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员N可弹起多高.,J为其跷板的转动惯量, 把板看成是窄长条形状,这样演员N将以速率u=l/2跳起, 达到的高度h为,旋进 回转效应*,绕自身对称轴高速旋转的物体,在外力矩的作用下,其对称轴绕一固定轴的回转运动称为旋进(进动)。,可用角动量守恒定理来解释回转仪的旋进。,回转仪,飞轮对自身轴也即对o点的角动量,飞轮受重力矩,使 方向改变,而大小不变.,因为,自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转,1. 杠杆陀螺的进动,这种现象称为进动。进动角速度可由角动量定理求得：,而,因此,为表示出进

18、动角速度的方向，可将上式写成矢量形式,陀螺的运动,绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪. 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运 动.利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动.,一、陀螺的进动,如图，对固定点0，陀螺只受重力矩的作用，即,根据刚体角动量定理,即角动量的变化量dL应像M一样垂直于L.L的顶端绕一水 平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动.,由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度 的 增大而减少，与角度 无关.,如图,其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转 动惯量J与自转角速度 的乘积.因此，陀螺的进动角速度为,二、陀螺特点:,2.章

19、动当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动 外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角 会有大小波动，称为章动.,将刚体装在所谓“常平架”上，如图6.26。常平架对刚体转轴作何取向并不施加任何限制，所以在轴承上只有由于刚体的重量而引起的静压力。由于对称性，这种静压力对于质心的力矩为零。因此，刚体在常平架上的运动是一种没有外加力矩的定点运动，定点指的是质心。,没有外加力矩的定点运动在技术上有很重要的应用。在急速爬高、俯冲、侧滚的飞机中，由于惯性力的作用，人们将发生错觉，例如人们所认为的竖直方向很可能并不是真正的竖直方向。因此在飞机上有一些人造地平之类的定向指示仪表，这些仪表的主要部分都是装在

20、常平架上绕其对称轴高速转动的圆盘。因为圆盘达到了动平衡，不论飞机的运动如何复杂，圆盘的轴在空间中保持一定指向，不受飞机运动的影响，驾驶员从圆盘的轴相对于飞机的角度就可以正确地知道飞机在空中的指向。由于圆盘的转速很高，仪表的指示是很稳定可靠的。保持鱼雷作定向运动的机构也是基于同一原理。,技术上利用进动的一个实例是炮弹在空中的飞行，如图6.30。炮弹在飞行时，要受到空气阻力的作用。阻力f的方向总与炮弹质心的速度方向相反，但其合力不一定通过质心。,阻力对质心的力矩就会使炮弹在空中翻转。这样，当炮弹射中目标时，就有可能是弹尾先触目标而不引爆，从而丧失威力。为了避免这种事故，就在炮筒内壁上刻出螺旋线。这种螺旋线叫来复线。当炮弹由于发射药的爆炸被强力推出炮筒时，还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种旋转，它在飞行中受到的空气阻力的力矩将不能使它翻转，而只是使它绕着质心前进的方向进动。这样，它的轴线将会始终只与前进的方向有不大的偏离，而弹头就总是大致指向前方了。,质点力学、刚体力学有关公式对照表,作业： 大学物理习题精选 P39-44 1, 8, 9, 15, 16,