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1、第十一章 曲线积分与曲面积分,1 对弧长的曲线积分,实例:,设平面曲线,上点,处的,线密度为,,,在曲线,上连续,,且,求曲线,的质量,2.,3.,求和,将曲线,分得越细,,近似值,就越接近于精确值,.,4.,记最大弧长为,令,,取极限,,得,一、定义,设,为,坐标面内的一条光滑曲线弧,,函数,在,上有界。,在,上,任意加入,个分点:,将,任分为,个小弧段.,设第,个小弧段,的长度为,,,在第,个小弧段,上任取一点,,,作和,.,记最大弧长为,.,如果极限,存在 ,,则称该极限值,为函数,在曲线弧,上对弧长的曲线,记为,即,积分或第一类曲线积分,,说明:,由实例,得,线密度为,的曲线,的质量,
2、积分弧段,被积函数,弧长元素,二、可积条件,说明,上面定义可推广到空间曲线弧,的情形,即,说明,例如,,其中,是光滑曲线,则规定,则记为,三、性质,(1),(2),这里,(3),若在,上,,则,特别地,有,四、计算,定理,设,在曲线弧,上有定义,且连续,,的参数方程为,,,其中,在,上具有一阶连续导数,,且,,,则,存在,且,证,上对应的点,在,上任意加入,个分点:,对应于一列单调增加的参数值:,按定义,得,(定积分中值定理),注意,说明,其它情形:,(1),即,为参数.,(2),即,为参数.,(3),例1,计算,,其中,为圆周:,,,.,解,例2,计算,,其中,为立方抛物线,解,上点,与点,之间的一段弧.,选,为参数.,例3,计算,,其中,为抛物线,解,上点,与点,之间的一段弧.,选,为参数.,注意:,本题若选,为参数,,计算较繁。,需要分为上下两段,,例4,计算,,其中,为螺旋线:,上相应于,从,到,的一段弧.,解,练习:,计算,其中,为,三点相连而得的闭折线.,练习答案:,补充题:,求,其中,为圆周,,,.,作 业,P190, 2, 3(1)(3)(5)(6)(8),