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1、第十一章 曲线积分与曲面积分,1 对弧长的曲线积分,实例：,设平面曲线,上点,处的,线密度为,，,在曲线,上连续，,且,求曲线,的质量,2.,3.,求和,将曲线,分得越细，,近似值,就越接近于精确值,.,4.,记最大弧长为,令,，取极限,，得,一、定义,设,为,坐标面内的一条光滑曲线弧，,函数,在,上有界。,在,上,任意加入,个分点：,将,任分为,个小弧段.,设第,个小弧段,的长度为,，,在第,个小弧段,上任取一点,，,作和,.,记最大弧长为,.,如果极限,存在 ，,则称该极限值,为函数,在曲线弧,上对弧长的曲线,记为,即,积分或第一类曲线积分，,说明：,由实例，得,线密度为,的曲线,的质量,
2、积分弧段,被积函数,弧长元素,二、可积条件,说明,上面定义可推广到空间曲线弧,的情形，即,说明,例如,，其中,是光滑曲线,则规定,则记为,三、性质,(1),(2),这里,(3),若在,上，,则,特别地,有,四、计算,定理,设,在曲线弧,上有定义,且连续，,的参数方程为,，,其中,在,上具有一阶连续导数，,且,，,则,存在,且,证,上对应的点,在,上任意加入,个分点：,对应于一列单调增加的参数值：,按定义，得,(定积分中值定理),注意,说明,其它情形：,(1),即,为参数.,(2),即,为参数.,(3),例1,计算,，其中,为圆周：,，,.,解,例2,计算,，其中,为立方抛物线,解,上点,与点,之间的一段弧.,选,为参数.,例3,计算,，其中,为抛物线,解,上点,与点,之间的一段弧.,选,为参数.,注意：,本题若选,为参数，,计算较繁。,需要分为上下两段，,例4,计算,，其中,为螺旋线：,上相应于,从,到,的一段弧.,解,练习：,计算,其中,为,三点相连而得的闭折线.,练习答案：,补充题：,求,其中,为圆周,，,.,作 业,P190, 2, 3(1)(3)(5)(6)(8),