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1、教学内容：,梁的挠曲近似微分方程，积分法确定弯曲变形,教学要求：,1、了解梁变形的两个基本量（挠度和转角）及梁的挠曲近似微分方程；梁的刚度条件;简单超静定梁的解法.,2、理解积分法计算梁的弯曲变形；提高梁的抗弯能力的途径,重点：积分法计算梁的弯曲变形。,难点：确定积分常数的位移边界、连续条件,Mechanic of Materials,第十七讲的内容、要求、重难点,学时安排：2,2,第六章 平面弯曲,6.1 工程中的弯曲变形问题,目录,目录,6.2 挠曲线的微分方程,6.3 用积分法求弯曲变形,第十七讲目录,Mechanic of Materials,一、弯曲变形的意义：,1、解决弯曲刚度问题
2、,2、解决超静定问题,3、振动计算,6.1 工程中的弯曲变形问题,Mechanic of Materials,位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。,二、实际例子,1、吊车梁的变形不能过大,2、车床车削工件,6.1 工程中的弯曲变形问题,Mechanic of Materials,目录,机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。,还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程
3、中产生很大的噪声。,当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。,6.1 工程中的弯曲变形问题,Mechanic of Materials,3、车床的主轴：,目录,在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。,6.1 工程中的弯曲变形问题,Mechanic o
4、f Materials,一、弯曲变形的度量,1、梁的变形：,梁承载前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。,2、梁的位移：,3、挠曲线:,纵向对称面上，作用横向力，变形后，轴线由原来的直线变成曲线，为纵向对称面内的一条光滑的曲线，称为挠曲线 。,w = f (x),6.2 挠曲线的微分方程,Mechanic of Materials,梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。,y,P,5、截面转角：,横截面变形前后的夹角,w,6、转角与挠曲线的关系：,4、挠度w：,在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度w 。,6.2 挠曲线的
5、微分方程,Mechanic of Materials,逆时针向为正,：向上为正,二、挠曲线的近似微分方程,M(x),M(x),1、纯弯曲时：,M（x）-x位置上的弯矩,EIz-x位置上的抗弯刚度,r-x位置上中性层曲线的 曲率半径，即该位置上 挠曲 线的曲率半径,1）若挠曲线 w = w (x) 则,6.2 挠曲线的微分方程,Mechanic of Materials,2） -曲线 y=y(x)在x位置的斜率,即:,3）挠曲线的微分方程,M(x)0,M(x)0,-挠曲线的微分方程,6.2 挠曲线的微分方程,Mechanic of Materials,略去高阶无穷小：,4）挠曲线的近似微分方程,
6、在小变形的前提下， q 为小量。,一、挠曲线的近似微分方程,-挠曲线的近似微分方程,二、积分法求梁的变形原理,注：C 、D由梁的边界条件、连续性条件决定,6.3 用积分法求弯曲变形,Mechanic of Materials,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：, 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;,3、连续条件：梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线。, 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。,1、依据：积分法中常数由梁的约束条件(位移边界条件)与变形连续条件确定。,6.3 用积分法求弯曲变形,Mechanic of Materi
7、als,三、小挠度微分方程的积分常数的确定,2、约束条件：是指约束对于挠度和转角的限制：,梁段任意截面两侧的挠度、转角对应相等 wx-= wx+，x-x+,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,3、中间支承链杆,6.3 用积分法求弯曲变形,Mechanic of Materials,3、自由端,2、中间铰,1、梁段,2、固定端,1、固定铰,6.3 用积分法求弯曲变形,Mechanic of Materials,四、积分法求解步骤：,1、写出弯矩方程。当弯矩不能用一个函数式表达时，需写出分段弯矩方程。,2、将弯矩方程积分或分段积分，并写出式子。,3、
8、写出梁变形的边界条件、连续性，求积分常量。,4、写出挠曲线方程和转角方程。,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解：,1）建立坐标如图，写弯矩方程,2）列挠曲线近似微分方程,积分一次：,再积分一次：,6.3 用积分法求弯曲变形,Mechanic of Materials,4）由位移边界条件确定积分常数,3）积分求转角、挠度方程,5）转角方程和挠度方程,当x=0,6）确定最大转角和最大挠度,例2 求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程, 7-2 用积分法计算弯曲变形,Me
9、chanic of Materials,4）积分求转角方程和挠度方程,3）列挠曲线近似微分方程,5）由边界条件确定积分常数,位移边界条件,由光滑连续条件, 7-2 用积分法计算弯曲变形,Mechanic of Materials,6）转角方程和挠度方程,7）确定最大转角和最大挠度,令 则：,令,例2,6.3 用积分法求弯曲变形,例3：试求图示外伸梁A处转角，D、C挠度。,Mechanic of Materials,;由边界条件得：,例3,6.3 用积分法求弯曲变形,例4：求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程。,Mechanic of Materials,6.3 用积分法求弯曲变形,例5：求的转角
10、方程、挠度方程。,Mechanic of Materials,Mechanic of Materials,探讨,例5：求的转角方程、挠曲线方程。,挠曲线通用方程：,挠曲线通用方程：,按奇异函数写出通用的弯矩方程，对之积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程。,M方程中：,集中力：,集中力偶：,分布荷载：,Mechanic of Materials,挠曲线通用方程,例6：按通用方程写出图示梁的挠度方程。,Mechanic of Materials,作业,作业,P.197 6-4a 、5a (积),目录,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。,优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：
11、计算较繁。,可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。,积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。,讨 论,Mechanic of Materials,积分法求弯曲变形：,1、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,Mechanic of Materials,讨 论,2、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程
12、应分两段AB、BC，共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,Mechanic of Materials,讨 论,3、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,Mechanic of Materials,讨 论,4、悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?,(d),直,转角为常量,AB、CD段挠曲线,5、挠曲线近似微分方程 对应的坐标系有a、b、c、d所示的四种形式,请分析判断,哪一个是正确的?,A、图b、c ； B、图b、 a ； C、图b 、 d ； D、图c 、 d 。,（D）,Mechanic of Materials,讨 论,y,y,y,y,6、图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响，关于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述，请分析判断哪一个是正确的?,A、大大降低梁的强度和刚度 ； B、对强度有很大的影响，对刚度的影响很小可以忽略不计 ； C、对刚度有很大的影响，对强度的影响很小可以忽略不计； D、对强度、刚度的影响都很小，都可以忽略不计。,（B）,Mechanic of Materials,讨 论,