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1、第十三章 应力状态分析,山西农业大学工学院,第 13 章 应力状态分析,13-1 概 述,1. 应力状态的概念,应力状态 ： 过一点所有各方向截面上的应力全部情况称为该点的应力状态。 应力状态分析 ： 分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律。 应力状态分析的目的： 为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因素。,通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着截面的方位而改变。,例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。,类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面上的应力也随着截面的方位而改变。,根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破坏的力学因素，并建立强度条件。,铸铁轴向拉伸： 沿横截面拉断破坏，断
2、口平齐。,铸铁轴向压缩： 沿斜截面剪断破坏。（超过了铸铁材料的抗剪强度）,低碳钢轴向拉伸时，沿45 斜截面（最大切应力面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。,回顾单向应力状态的情况,低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。,铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。,铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45 方向拉伸引起的断裂。,作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）时材料的许用应力加以比较来建立强度条件。,对于自由扭转的构件，其材料处于纯剪切应力状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪切时材料的许用应力加以比较来建立强度条
3、件。,但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时，在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。,2. 应力状态分析的方法,单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。,应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定。,13-2 平面应力状态分析,1. 求斜截面上的应力,应力圆圆心：,半径：,标准圆方程：,2. 作应力圆,应力圆方
4、程：,作应力圆：,(2) 注意应力的符号，特别是切应力,求斜截面上的应力：,(1) 找准起始点 (2) 角度的旋转以C为圆心 (3) 旋转方向相同 (4) 2倍角的关系 (5) 应力的符号,(1) 注意截面的选取,(1) 点与面对应。,(2) 倍角与角对应。,应力圆与单元体的对应关系：,角度的取值范围和对应关系：,3. 主应力与主平面,单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，称为主应力。,可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个相互垂直的主平面和三个相应的主应力。,平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。,如图所示的三个单元体是否处于平
5、面应力状态？,思考题 131,思考题13 -1参考答案：,单向应力状态,单向应力状态,平面应力状态,根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单元体，(1) 垂直于 x y平面的截面上之最大切应力其值为tmax=(s1-s2)/2，作用在自s1作用截面逆时针旋转45的面上；(2) 该截面上还有正应力，其值为(s1+s2)/2。,思考题 13-2,(a),求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意斜截面上的应力。,思考题 13-3,平面应力状态的应力圆,1 2 3,平面应力状态,单向应力状态,平面应力状态,(1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。,4. 小结,(2) 切应力极值：,(4) 主平面主
6、应力主方向,右图为平面应力状态的应力图，s3=0。,(1) 基本概念，描述方法及其分类(回顾）,5. 点的应力状态分析,描述方法：单元体法，即三个方向均为无穷小的立方体,特点：,每个面上应力均匀分布，相互平行的一对面上应力相等，且等于杆件相应截面上该点的应力。,主平面 无切应力，只有正应力的平面。,(2) 点的应力状态分类,正应力拉为正，压为负，切应力从坐标轴正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，反之为负。,主应力 主平面上的正应力。,1 2 3,对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。,应力符号规定：,(b) 平面（二向）应力状态有两个主应力不为零
7、。,(c) 空间（三向）应力状态三个主应力均不为零。,(a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。,分类,6. 平面（二向）应力状态分析,另一主应力为零。,得,令,(4) 图示纯剪切应力状态，试求主应力及主方向。,应力圆如右图。,问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序吗?,13-3 平面应力状态下的胡克定律,各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状态的叠加。,平面应力状态下的应变：,上式即为平面应力状态下的胡克定律。
8、,平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：,注意：sz = 0，但ez0。,已知|ea |+|eb |= 40010-6 ，E=200 109Pa，n =0.25，外径D =120 mm，内径d =80 mm，求M。,解：,例题 131, = ,例题 131,例题 131,根据胡克定律：,平面应力状态下由测点处的线应变求应力,一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。,13-4 三向应力状态,1 2 3,平面应力状态（三向应力状态的特例）,三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力均不为
9、零。,单向应力状态（三向应力状态的特例）,平面应力状态,应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为零而单元体处于三向应力状态时，因为平行于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力状态绘出的通过表示主 应力s1、s2的点A1 A2之应 力圆，仍然表示那组截面 上的应力情况，即代表平 行于该主应力的诸截面上 应力的情况。,可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。即图中代表abc截面上的应力s 和t 的D点，必定落在三个应力圆所围成的阴影范围内。在s-t直角坐标系内，代表单 元体任何截面上应力
10、的点， 必定在三个应力圆的圆周 上以及由它所围成的阴影 范围以内。,三向应力状态,三向应力状态,1. 最大切应力,作用在平行于主应力s2且自s1作用面逆时针转45的面上，它使分离体有顺时针转动的趋势。,2. 胡克定律,各向同性材料在三向应力状态下的胡克定律，称为广义胡克定律，对线弹性，小变形，由叠加原理有:,3. 各向同性材料的体应变,材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。,取三个边长分别为a1、a2、a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为,将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同
11、性材料的广义胡克定律得,边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比n0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。,例题 13-2,1. 铜块水平截面上的压应力为,例题 13-2,解:,2. 铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b) 。,按照广义胡克定律及ex0和ez0的条件有方程：,例题 13-2,从以上二个方程可见，当它们都得到满足
12、时显然sx=sz。于是解得,由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，且,例题 13-2,3. 铜块内的最大切应力为,例题 13-2,4. 铜块的体应变为,例题 13-2,4. 应变能密度,在 “轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：,在 “扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：,在此基础上，介绍三向应力状态下的应变能密度。,把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得,为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，
13、即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的三向应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：,体积改变能密度和形状改变能密度,图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而且其形状(指单元体三个边长之比)也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd两部分，即 vevvvd。,如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态，则可见：,(1)图(b)所示的三个主应力都等于平均应力sm=(s1+s2+s3)/3 的情况下,单元体只有体积改变而无形状改变，其应变能密度就是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。,(2) 图c所示三个主应力分别为s1-sm，s2-sm，s3-sm的情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。,由以上分析可知：,(1) 图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有,在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。,(2) 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有,第13章结束,