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1、第三篇 动力学,第三篇 动力学,第 九 章 动力学基础 第十 章 动能定理 第十一章 动量定理 第十二章 动量矩定理 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理,第三篇 动 力 学,引 言,动力学研究物体的机械运动与作用在该物体上的力之间的关系。 在研究动力学问题中一般选取牛顿的运动三定律作为动力学的基础，并称之为牛顿定律或动力学基本定律。,力学模型质点、刚体和质点系,质点：只有质量而无大小的物体。,在下面两种情况下，可以把物体视为质点：,物体作平移的时候；,当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略其大小对问题的性质无本质影响的时候。,刚体：有质量、不会变形的物体。,质点系：由若干个质点组
2、成的、有内在联系的系统。,动力学主要研究以下两类基本问题,已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力； 已知作用于物体上的力，求此物体产生什么样的运动。,第九章 动力学基础,第一节 牛顿定律及质点运动微分方程,第三节 质点系的基本惯性特征,第二节 质点动力学的两类基本问题,第一节牛顿定律及质点运动微分方程,牛顿定律,惯性参考系,单位制,量 纲,质点的运动微分方程,牛顿定律，是牛顿在自然哲学的数学原理中建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称为动力学基本定律。,第一定律 任何质点如不受力作用，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。,该定律还定义了惯性参考系。因为该定律涉及到了静止和匀速直线运动，
3、也就很自然涉及了参考系。,牛 顿 定 律,第二定律 质点作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力的方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比。,即质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。,如果在质点上同时作用了几个力，该质点所产生的加速度则取决于这些力的合力的大小和方向。上式可以改写为,第三定律 任何两个质点间的相互作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且分别作用在这两个质点上。该定律也称为作用与反作定律。,该定律说明两个质点不论是静止平衡的，还是运动的，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反。,牛顿定律所给出的
4、结论只有在惯性参考系才是正确的。,惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向三个恒星的日心参考系是惯性参考系。,如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地心参考系是惯性参考系。,惯性参考系,如果只限于地球表面及其邻近范围的机械运动，对于绝大多数的工程问题来说，研究对象的加速度一般都要比地球自转而使之产生的附加的加速度大很多，倘若要求的精度不很高，为了计算简便，可选择地面参考系。忽略掉地球自转，选择地球参考系为惯性参考系。地球参考系有时也叫地面参考系。 如不特别指明，均采用地球
5、参考系作为分析计算的标准。,牛顿力学涉及了许多物理量，每个要用一个对应的单位来度量。为方便计，,选择不同的基本量和基本单位，将形成不同的单位制。,单位制,量纲：为了表明导出量与基本量的关系，通常将各导出量用基本量的组合形式表示出来，这种基本量的组合形式称为导出量的量纲。,在国际单位制中 长度、质量、时间是基本量，它们的量纲分别用 L、M、T表示，,物理量的量纲与其单位是物理量的两个方面，一个物理量的量纲是一定的，它的大小却可以用不同的单位来度量,量 纲,加速度、力是导出量，它们的量纲分别是,设一质量为m 的质点受到力F1，F2，Fn作用,沿某曲线轨迹运动。根据牛顿第二定律，得三种形式的微分方程
6、,质点的运动微分方程,质点动力学的第一类基本问题，是已知质点的运动，求解此质点所受的力。,质点动力学的第二类基本问题， 是已知作用质点上的力，求解此 质点的运动。,第二节 质点动力学的两类基本问题,解：这是典型的动力学第一类基本问题。从运动方程中消去时间，得此质点的轨迹方程：,力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动.,解：为建立质点M的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x轴铅直向下。该质点的受力图如图b示，则质点M的位移、速度、加速度均设为沿x轴的正方向。则运动微分方程为,令,这就是该物体下沉的运动规律。,该物体下沉速度将趋近一极限值,这个速度称
7、之为物体在液体中自由下沉的极限速度,讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。,时,注意到运动的起始条件为,质点系的质量中心,第三节 质点系的基本惯性特征,刚体的转动惯量,转动惯量的平行定理,描述质点系质量分布的一个特征量称为质量中心，简称质心。,质点系的质量中心,质心的坐标公式为,由此可知，质点系中各质点的位置发生变化时，质心的位置也可能发生变化。,转动惯量是描述刚体的质量分布的另一个特征量。,刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它等于刚体内各质点的质量与其到转轴
8、的垂直距离平方的乘积之和。,刚体的转动惯量,由此可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。,若刚体的质量是连续分布的，刚体的转动惯量公式,转动惯量的量纲是,极转动惯量：刚体对点的转动惯量称为极转动惯量,极转动惯量与对于坐标轴的转动惯量之间的关系,如果刚体是很薄的平板，则,刚体对z轴的转动惯量也可用另一形式来表示。设刚体的总质量为M，则,rz称为刚体对轴的回转半径或惯性半径,解：设坐标系的轴沿着杆的轴线。该杆线密度（单位长度的质量） ，则单元体的质量 ，于是,例9-4 如右图示，厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为M，求圆板对其直径轴的转动惯量。,解：首先，将圆板分成无
9、数同心的单元圆环，则单元圆环的质量,单元圆环对于中心的转动惯量是,转动惯量的平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。即,转动惯量的平行定理,分别以O、C 两点为原点，建立直角坐标系，则,注意到Cxy的坐标原点与质心C重合,通过质心轴的转动惯量最小,当物体由几个简单几何形状的物体组成时，计算整体的转动惯量时，可先分别计算每一简单几何形体对同一轴的转动惯量，然后求和即可。如果物体有空心部分，可把这部分的质量视为负值来处理。,例9-5 钟摆简化模型如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为M1和M2，杆长为l，圆盘直径为d，求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。,解：摆对于水平轴的转动惯量即细长杆的转动惯量和圆盘的转动惯量,应用平行轴定理，有,