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1、第十二节 导数在研究函数中的应用,一、函数的单调性与导数 1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数 2利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 ； (2)在定义域内解不等式 ； (3)根据结果确定f(x)的单调区间,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x),f(x)0或f(x)0,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ，右
2、侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值 2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,疑难关注 1f(x)0与f(x)为增函数的关系 f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件 2可导函数
3、的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件，如函数yx3在x0处有y|x000，但x0不是极值点，此外不可导的点也可能是函数的极值点,1(课本习题改编)函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a( ) A2 B3 C4 D5 解析：f(x)3x22ax3.函数f(x)x3ax23x9，在x3处有极值f(3)0. 396a0.a5. 答案：D,答案：C,3(2012年高考陕西卷)设函数f(x)xex，则( ) Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x
4、)的极小值点 解析：利用导数的乘法法则求解 f(x)xex，f(x)exxexex(1x) 当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时函数yf(x)为增函数同理可求，x1时函数f(x)为减函数 x1时，函数f(x)取得极小值 答案：D,4(课本习题改编)已知f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_ 解析：f(x)3x2a，在x1，)上f(x)0， f(1)0，即31a0.a3. 答案：3 5(2013年皖南八校联考)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_ 解析：f(x)3x22ax(a6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f(
5、x)0有两个不相等的实数根，所以4a243(a6)0，解得a6. 答案：a6,考向一 函数的单调性与导数 例1 (2012年高考北京卷改编)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间 解析 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b， 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)g(1)，且f(1)g(1),1(2013年郑州模拟)若函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是
6、_,此时g(x)，g(x)随x的变化情况如下表：,考向三 函数单调性与极值的综合问题 例3 (2012年高考浙江卷)已知aR，函数f(x)4x32axa. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当0x1时，f(x)|2a|0. 解析 (1)由题意得f(x)12x22a. 当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，),【思想方法】 分类讨论思想在导数中的应用 【典例】 (2012年高考新课全国标卷)设函数f(x)exax2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值 【思路导析】 (1)确定定义域后求f(x)，解
7、f(x)0时注意分类讨论 (2)由条件分离参数k后构造新函数求其最小值,由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2) 当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g() 又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3) 由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2. 【思维升华】 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f(x)0是否有根(2)若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法,1(2012年高考福建卷)已知f(x)x36x29xabc，a0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0，得x3，,f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又a0，y极小值f(3)abc0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 f(0)0. 正确结论的序号是. 答案：C,本小节结束 请按ESC键返回,