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1、第十章 图像的频域变换,人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。,问题的提出,首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题。 其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中。,图像变换的前提条件,二维离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 二维离散傅立叶变换的应用 离散余弦变换,本章讨论的内容,因为数字图像信号是二维的数字信号，所以必须采用二维傅立叶变换才能够实现对图像的频域变换。,二维离散傅立叶变换,二维离散Fourier变换 正变换,设图像大小为M*N，原图为
2、f(x,y)，其频谱为F(u,v)，则：,二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。,二维离散Fourier变换 反变换,注：逆变换的系数不为1。,二维离散Fourier变换 变换公式系数说明,因为Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式。 按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相等，为：,按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。,二维离散Fourier变换 作用,1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。,快速Fourier变换（FFT）,快速Fourier
3、变换的提出，是为了减少计算量。 基本思想是，找出Fourier变换中的数据变化规 律，按照其规律整理出 适合计算机运算 的逻辑 结构。,FFT的推导,因为二维傅立叶变换可以转换成两次的一维傅立叶变换，所以，在这里我们只对一维快速傅立叶变换进行推导。,FFT的推导,（分成奇数项和偶数项之和）,FFT的推导,（又可分成奇数项和偶数项之和）,单看偶数项:,FFT的推导,=,=,=,=,=,FFT的数据变换规律之一是： 1)可以不断分成奇数项与偶数项之加权和。 2)奇数项、偶数项可分层分类。,FFT的推导,至此，计算量可减少近一半。,FFT的算法原理,首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇
4、数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。 也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。这恰好符合计算机计算所擅长的计算规律。,FFT的算法步骤,1. 先将数据进行奇、偶分组。,例：,下标为2x,下标为2x+1,FFT算法步骤,分析偶数部分的数据项：,0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110,如果下标用二进制数表示为：,末尾一位是0。,FFT算法步骤,分析奇数部分的数据项：,0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111,如果下标用二进制数表示为：,末尾一位是1。,FFT算法步骤,二进制数为：0000
5、，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110,第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14,2. 对偶数部分进行分层分组排序,因为奇数部分的数据项排列规律为2x+1，所以只需要给出偶数项部分，奇数项部分则可以类推。,FFT算法步骤,二进制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110,0 2 4 6,1 3 5 7,第一层下标分组为： 0， 4，8，12； 2，6，10，14,移位：000，001，010，011，100，101，110，111,偶数组：000，010，100，110,奇数组：001，011，101，111
6、,FFT算法步骤,二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100,第二层下标为： 0 4 8 12,0 2,1 3,第二层下标分组为： 0， 8； 4，12；,移位：00，01，10，11,偶数组：00，10,奇数组：01，11,FFT算法步骤,3. 根据每层偶数组的排序方式，获得奇数组的排序方式。,因为偶数项的系数为f(2x)，奇数项的系数为f(2x+1)，所以由第二层偶数排序：,可以得到第一层偶数排序为：,0， 8， 4，12；,0，8，4，12，2， 6，10，14；,FFT算法步骤,再根据第一层的偶数排序：,获得奇数项的排序为：,1，9，5，13，3， 7，11，15,0，
7、8，4，12，2，6，10，14；,最后，获得原始数据的排序为：,FFT算法步骤,4. 进行分层的奇、偶项相加。,对排好序的数据项，进行第一层计算有：,FFT算法步骤,对得到的偶数数据项，进行第二层计算有：,FFT算法步骤,对得到的奇数数据项，进行第二层计算有：,FFT算法步骤,对得到的偶数数据项，进行第三层计算有：,两个数一组,FFT算法步骤,对得到的奇数数据项，进行第三层计算有：,两个数一组,FFT算法步骤,最后，将获得的所有数据项进行合并：,FFT算法图示,FFT计算例,设对一个函数进行快速Fourier变换，函数在采样点上的值设为：,偶数项部分：,下标值分别为：000，010，100，
8、110 排序为： 000, 100, 010, 110,奇数项部分：,下标值分别为：001，011，101，111 排序为： 001, 101, 011, 111,分成偶数、奇数为（偶数在左，奇数在右）：,按照前面叙述的FFT方法,第1层(4组2个点的运算)：,偶数项部分,奇数项部分,第2层偶数部分：,第2层奇数部分：,第3层（1组8个点的运算）：,对函数：,按照定义，可得其Fourier变换为：,下面，我们以F3为例验证结果是否正确：,二维Fourier变换的应用,前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算转换为乘积运算。 因此二维Fourier变
9、换的应用也是根据这两个特点来进行的。,二维Fourier变换的应用 用于图像滤波,首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。,二维Fourier变换的应用 用于图像压缩,变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。,二维Fourier变换的应用 用于计算卷积,从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等
10、 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。 Fourier变换可以卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算，提高计算速度。,离散余弦变换（DCT） 问题的提出,Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。 为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。,离散余弦变换（DCT）,正变换：,逆变换：,其中：,离散余弦变换（DCT） 应用,余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构成的变换。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。,作 业（共1题）,1. 第230页 第1题。,Fourier 变换示例,图像的频率特性,Fourier变换的低通滤波示例,Fourier变换的高通滤波示例,基于Fourier变换的压缩示例,另一幅图像效果,压缩率为：1.7：1,压缩率为：2.24：1,压缩率为：3.3：1,基于Fourier变换的压缩示例,压缩率为：8.1：1,压缩率为：10.77：1,压缩率为：16.1：1,