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1、第三节,年金,主要内容,年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值,一、年金的定义,年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。,二、年金的类型,确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。,三、年金的现值与终值,1、n年定期年金 1）期末付年金 现值,0 1 2 3 n,1 1 1 1,v,v2,vn,。,上式可写成：,期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。,年金终值,.,0 1 n-1 n-2 n,1 1 1 1,1+i
2、,(1+i）2,(1+i)n-1,。,每年末存入1元，第n年末可得,证明：,2）期初付年金,现值,0 1 2 n-2 n-1 n,1 1 1 1 1,v,v2,Vn-1,。,终值,。,0 1 n-2 n-1 n,1 1 1 1,1+i,(1+i)2,(1+i)n,。,期初付年金与期末付年金,其他,例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。,解:,2、延期m年的n年期年金,1）期末付延期年金 现值,0 m m+1 m+n-1 m+n,1 1 1,Vm+1,vm+n-1,Vm+n,。,或：,终值,或：,2
3、)期初付延期年金,现值,或：,。,终值,或：,例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。 解：,3、一年支付m次的年金,1）期末付 假设年利率为i，每次末的支付额为1m，每年支付额为1元。,。,m m - m,0 1 2 n-1 n,1/m 1/m 1/m 1/m 1/m,现值,终值,解二,设每次支付的实际利率为i0,每次给付为1的现值和终值为：,。,同理：,。,2）期初付 假设年利率为i，每次初的支付额为1m，每年支付额为1元。,。,m m - m,0 1 2 n-1 n,1/m 1/m 1/m 1/m 1/m,现值,终值,解二,设
4、每次的实际利率为i0,每次给付为1的现值和终值为：,。,同理：,例1、张东向银行贷款200，000元，年利率为4%，计划10年还清，求每月末的还款额。,解：设年还款额为,每月的还款额为：,例2：如果某投资者希望在今后的5年内每个季度末领取500元等额收入，在年实际利率i=5%的条件下，该投资者在期初存入银行多少钱？,解一：,解二：,例3、小王每月向银行存入100元，计划存足30年后在当年末一次性取出，如果年实际利率为2%，求小王支取的数额。,解：,4、标准递增型年金,1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n 现值：,两边同乘(1+i):,两式相减：,终值,.,2）期初付 各年初支付如下
5、： 1，2，3，-，n 现值：,两边同乘V:,两式相减：,终值,5、标准递减型年金,n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1 现值：,两边同乘(1+i):,两式相减：,终值,2) 、期初付,终值：,现值：,例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的现值和终值。,解：1）现值为：,2）终值为：,例2、某人希望购买一项年金，该年金在第一年末的付款为1，000元，以后每年增加100元，共付10年，设i=5%，求该年金的现值。,解：该年金的现值为：,6、连续年金,现值,7、永续年金,1）期末付年金现值
6、2）期初付年金现值,期初投资 元，则 每年可获得1元,期初投资 元，则 每年可获得1元,3）延期m年的永续年金,4)变额年金的永续年金,期末付,期初付,例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每年末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。,解：,例：李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年末得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养老金额。,解：,例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于10
7、年末开始每年2，000元的永续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。,解：,例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元，中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金现值和终值的表达式。,解：现值,终值,。,例、某人留下了100万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。,解：,1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2，000元即可付清车款，假设每月
8、结转一次利息的年名义利率为8%，试计算首期付款的金额为多少？,2、某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每月的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？ 3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，试计算：1）年金的现值；2)年金的终值；3)年金在2005年12月31日的值。,4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10，000元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人可以领
9、取）每次可领取多少?,5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。,6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。,7、假设一笔10，000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1，000元，直到还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1，
10、000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。,8、如果年利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4，000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5，000元的年金将有相等的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。,9、借款人原计划在每月末偿还1，000元，用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为12%。如果他希望一次性支付60，000元还清贷款，应该在何时偿还？ 10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到60，000元。如果前2年每次存入1，000元，后3年每次存入500元，试计算每月结转一次利息的名义利率
11、。,11、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后2年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。,12、投资者每年末向一基金存入2，000元。如果基金在前2年收益率为6%，在后2年的年收益率为5%，投资者在第四年可以积存多少价值。,四、年金的利率、时间问题求解,1、利率问题 1）迭代法一 2）Newton-Raphson迭代法,1）迭代法一,迭代公式,步骤,第一步 ：确定i0，求i1； A、i0 可由线性插值法确定； B、泰勒级数前两项确定。,第二步：由i1求i2，以此类推。,可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。 确定
12、迭代公式：,得：,。,得：,缺点：收敛速度慢。即达到精确值得速度慢。,2）Nenton-Raphson迭代公式,优点：速度快。,如果已知 ，则迭代公式,其中：,例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取1，000元，共取10年，求：i,解法一：线性插值法。,试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1),令：,解法二，N-R迭代法,由N-R公式：,得：,i=0.042775,2、时间问题,2）小额支付,当n为非整数时，有小额支付问题。,0 1 k-1 k s k+1,1 1 1 w,n=k+s s1,最后一次支付额w1,W的计算,W的提
13、前支付,W在第k年初的现值。 最后一次取款额为,W的延时支付,W在第k年末的终值。,例：投资者将其20，000元存入某基金，希望在每年末领取1，000，i=4.5%，求：,1）领取的时间及取款的次数； 2）最后一次的取款额； 3）最后一次取款在当年的现值和终值。,解：,1）求n,取款次数为53次,2）设小额支付为w,3）如果w在53年初支付，则其现值为：,如果w在53年末支付，则其终值为：,五、可变利率年金,假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。 1、期末付年金,0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n,1 1 1 1 1,现值,终值,。,2、期初付年金,现值,终值,3
14、、如果支付时，以当年利率为标准。,例：某人每年初存入银行1，000元，前4年的年利率为6%，后6年的年利率为10%，试求该年金的终值和现值。,解：,终值：,现值：,1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为8%，是计算首期付款的金额为多少？,2、某人将在十年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每月的收益率为6%，是计算他在退休时可以积存多少退休金？ 3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年
15、名义利率为6%，是计算：1）年金的现值；年金的终值；年仅在2005年12月31日的值。,4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10，000元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人可以领取）每次可领取多少?,5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。,6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐赠给了A、B、C、D四家慈
16、善机构。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D领取。是确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。,7、假设一笔10，000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1，000元，直到还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1，000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。,8、如果年利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4，000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5，000元的年金将有相等的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。,9、借款人原计划在每月末偿还1，000元，用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为12%。如果他希望一次性支付60，000元还清贷款，应该在何时偿还？ 10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到60，000元。如果前2年每次存入1，000元，后3年每次存入500元，试计算每月结转一次利息的名义利率。,11、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后2年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。,12、投资者每年末向一基金存入2，000元。如果基金在前2年收益率为6%，在后2年的年收益率为5%，投资者在第四年可以积存多少价值。,