漫谈空间与图形教学.ppt

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1、漫 谈空 间 与 图 形 教 学,临海市教育局教研室 蒋依宝,E-mail：,漫 谈空 间 与 图 形 教 学,历史的回顾,“课程标准”中的“空间与图形”,从“眼中之竹”到“手中之竹”,历史的回顾,一、“几何”发展史及在小学数学中的地位,1、“几何”来源于希腊文，原意是土地测量。,2、2000多年前的九章算术记载,把许多平面图形称之为“田”：,正方形方田,长方形直田,三角形圭田,梯 形斜田,在一系列测田亩、定四时的农业活动中逐步形成一些几何形体的概念。,三角形的面积计算：半广以乘正从 “广”矩形 “正从”高 把三角形割补成矩形，取其底长的一半 再乘高便是三角形的面积。（等积变形）,圆的面积计算

2、：半周半径相乘得积步 RR = R2 “积步”当时的面积单位“平方步”,祖冲之的圆周率 早出印度半个世纪，早出欧洲一千多年。,常见图形的求积计算,3、“几何”进入我国基础教育相当晚,1903年，奏定学堂章程正式规定在中学 要开设几何、代数和三角，小学只设算术， 而其中有一章叫“求积”，就是田亩的计算。,19世纪末，清朝的官立学堂、私立学堂和教 会学堂开始使用的教科书形学备旨中才 包括了几何。,4、建国以来，小学数学教学大纲几经修订， “几何初步知识”在小学数学中有了明确的 地位，内容也在逐步增加。,1952年小学算术教学大纲（草案） 几何教学内容只包括：直线、线段、直角、 长方形和正方形（包括

3、面积）、长方体和正方 体（包括体积）等内容。,1956年小学算术教学大纲（修订草案） 增加：角、三角形及其面积等内容。, 1963年全日制小学算术教学大纲（草案） 又增加：垂线、平行线、平行四边形、梯 形和圆（包括周长和面积）、圆柱、棱柱、圆 锥（包括体积）等内容，同时还学习一些简单 的测量和作图。 这是学习几何知识最多的一个大纲。,1978年全日制十年制学校小学数学教学大纲 （试行草案） 对1963年的大纲作了调整，删去了棱柱、棱 锥，增加了扇形。,1986年全日制小学数学教学大纲 规定的几何学习内容与1978年的相同。,1992年九年义务教育全日制小学数学教学大纲 （试用） ,明确小学几何

4、(初步知识)的性质直观几何,“在小学是通过直观学习一些几何初步知识”， 强调“几何初步知识的教学要充分利用和创造各种 条件，引导学生通过对物体、模型的观察、测量、 拼摆、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本 特征和面积、体积的计算方法，并注意在实际中应 用，以利于培养初步的空间观念。”,指出空间观念形成的主要途径,突破“以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养,63大纲：几何知识内容虽多，但还是提出“以四则 计算为中心”，与其相应的几何初步知识是“以求积为 中心”，对空间观念的培养仍较忽视。,92大纲：首先回答了什么是空间观念，又明确指出 在小学阶段培养初步空间观念的“标高”：,一是要求学生

5、听到某一学过的几何图形的名称，就 能在头脑中正确地再现它的形象；,二是能独立地看懂所画出的已学过的平面和立体图 形，正确掌握他们的名称；,三是能够在各种图形或模型中，正确地找出自己所 需要的图形，恰当地进行分类。,使空间观念的培养任务得到落实。,从低年级起合理安排对几何形体的认识,从一年级起，每年都安排了几何知识的内 容，知识由浅入深，要求从低到高，逐步积累 空间观念。,小学生对几何图形的认识都基本属于表象 阶段，因此，一般只描述其某些特征，不作理 论性的证明，不下严格的逻辑定义。为了便于 掌握教学要求，把它们由低到高分为：“直观认识”、“初步认识”、“认识”和 “掌握特征”四个层次进行教学。

6、,“直观认识”:看到有关图形、实物或模型，能初 步认识其外形，说出名称。,“初步认识”:较前者略高一些，能略知图形的一、 两个简单的特征。,“认识（知道）”:较“初步认识”又略高一些，知 道图形一般特征。,“掌握”:知道图形本质特征。这是认识的最高层 次，但仍不要求对概念下定义。,2000年九年义务教育全日制小学数学教学大纲 （试用修订版）,使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。,明确了几何初步知识教学目标：,对教学内容作了确定和安排：,几何初步知识的内容应密切联系学生的生活实 际，遵循儿童

7、的认识规律，按照立体平面 立体的顺序安排，通过观察、测量、拼摆、画图等 实际活动，认识常见的简单的几何体的特征，会计 算它们的周长、面积和体积，培养学生的空间观念。 求积计算的数据不应过繁。组合图形作为选学内容， 只限于两个图形的组合。几何形体要从低年级起逐 步认识，合理安排。,二、几何初步知识教学的意义,1、有利于培养学生的空间观念，为进一步学习 科学文化知识打下基础,把一个体积为64立方厘米的正方体，切 割成 8个体积相等的小正方体，这些小正方 体的表面积比原来正方体的表面积多多少平 方厘米？,解法一： 226844696（平方厘米）,解法二： 44696（平方厘米）,2、有利于提高学生应

8、用数学知识解决实际问题的能力,规划耕作面积时，首先要丈量土地；,绘制图纸时，要考虑到合理用料；,选择最近路线时，要会看地图；,布置房间时，要估计各种家具的体积；,铁道部规定每位旅客携带的行李外形大小,在教学中应多给学生一些结合实际的题目， 以提高解决实际问题的能力。,3、有利于培养学生初步的逻辑思维能力,小学几何虽然是直观几何，但是，小学生在建 立空间观念、掌握图形特征时，都是在积累的感性 认识的基础上，通过观察、分析、比较、综合、抽 象、概括实现的。尤其在通过几何变换求面积、体 积公式以及运用求积公式进行计算时，都必须进行 一定的推理。,三、不愿看到的现实,例1、有一个长方体，长5尺，宽和高

9、都是3尺，它的体积是（ ），棱长之和是（ ）。 （北京市1980年小学毕业和升学考试试题）,例2、下列哪一个图形可以折成立方体？,全市抽样统计，第一问绝大多数都对， 第二问正确率仅31.9.,例3、下图是一个大正方形内挖去一个边长是4.8厘米的小正方形后形成的图形。已知它的周长是52厘米，求原来大正方形的周长。,学生（共52人）： （1）524.834.8（43人） （2）524.82 （5人） （3）524 （2人） （4）空着不做 （2人）,案例长方形的周长计算,2、想一想，你测量几次就能求出它 们的周长？为什么？,1、测量计算长方形和正方形的周长。,12+8+12+8 122+82 （1

10、2+8）2,9+9+9+9 （9+9）2 94,（长+宽） 2,C=（a+b） 2,?,李华家想靠西墙围一个长8米， 宽4米的长方形养鸡场（如图） 需要篱笆多长？,过分强调C= （a+b） 2， 对学生合理、 灵活地解决实 际问题没有多 少帮助，反而 束缚了其思维。,案例平行四边形的面积计算,8厘米,8厘米,8厘米,6 厘 米,6 厘 米,6 厘 米,5厘米,长方形的面积=长宽,平行四边形的面积=底高,8分米,12 分 米,1.5米,2.8米,9厘米,7厘米,12米,5米,6 米,10米,平行四边形面积计算的运用,1、测量计算下面平行四边形的面积。 2、计算下面图形的阴影部分面积。你想到了什么

11、？,18厘米,9 厘 米,22分米,40分米,30分米,复习课（全册回顾）案例平面图形的面积计算,1、想一想：你会求哪些平面图形的面积？ 请各做一个平面图形，测量计算它们的面积。,2、在纸上按一定的关系画出这些图形，并把 有关系的图形用线连起来。想一想：怎样 连最简单、明白？,3、动动脑筋： 当梯形的上底为0时是什么图形？ 当梯形的上底等于下底时又是什么图形？,长=宽,割 补,拼凑,“课程标准”中的 “空间与图形”,2001年，教育部正式公布全日制义务教育 国家数学课程标准（实验稿），将数学学习内容 划分为四个学习领域：数与代数、空间与图形、统 计与概率、实践与综合应用。,在总结以往经验的基础

12、上，标准提出“几 何”（空间与图形）学习最重要的目标是使学生更好 地理解自己所生存的世界，形成空间观念，提出实现 直观几何、坐标几何和论证几何并举存在的格局。因 此，对传统的几何内容进行了较大幅度的改革。,一、课程学习目标,要发展学生的空间观念 空间观念主要表现： 1、能由物体的形状想象出几何图形，由几何图形想象出 实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化； 2、能根据条件做出立体模型或画出图形； 3、能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中 的基本元素及其关系； 4、能描述实物或几何图形的运动变化； 5、能采用适当的方式描述物体的位置关系； 6、能运用图形形象地描述问题，利用

13、直观来进行思考。,二、课程设计特点,1、新课标在“空间与图形”的课程设计上有如下 特点：,以“立体平面立体”为主要线索展开。,强调与学生生活的联系。,适当拓宽活动的领域：包括图形认识、图形的变换、 图形与位置等方面。, 以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强 调了学生的直观体验。,注重发展学生的空间观念。,发展对图形的审美意识。,2、与大纲相比，标准发生巨大变化,标准加强的地方：,加强平移、旋转、对称现象的认识。,增加对图形相对位置的认识。,增加认识方向与路线图。,增加认识不规则的图形（如：土豆体积的计算）,标准削弱的地方：,单纯的几何运算。,三、课程内容标准,“空间与图形”的内容主要涉

14、及现实世界中的 物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关 系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空 间并进行交流的重要工具。,各个学段的内容标准不同（详见“课程标准”）,从“眼中之竹”到 “手中之竹”,1、郑板桥画竹：经历“眼中之竹”“胸中之竹” “手中之竹”三个阶段。,一、由郑板桥画竹而想到,“眼中之竹”对创作对象的意象积累；,“胸中之竹”将积累的意象重新组合、内 化于心，做到胸有成竹；,“手中之竹”画家创造性思维的物化，注 意形似，力求神似。,2、小学生要学好几何初步知识，也必须经历这 三个阶段。,学生：从“眼中之竹”到“手中之竹”是学习 “空间与图形”的必由之路。,教师：要从中设法引

15、导，促成学生从“眼中 之竹”过渡到“手中之竹”。 帮助学生丰富“眼中之竹” 引导学生形成“胸中之竹” 诱发学生创造“手中之竹”,二、帮助学生丰富“眼中之竹”,学生“眼中之竹”指的是空间观念，它是现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换在人脑中的表象。,丰富下列各空间观念：,1、形状形体的本质特征及相应表象。,2、大小对平面或空间在数量上的占有。,例5、教学面积和面积单位（案例）,学习了面积和面积单位以后。,B、估计以上两个图形的面积，再用单位测量，比较两次 得到的结果。,A、不用尺，画一个面积大约是2平方分米的图形（外化）,3、结构形体的基本元素及其构成方式。,4、位置

16、关系形体间的相对空间关系（方位、 顺序）。,例6、,例7、认识长方体和正方体以后，安排连线找朋友练习：,例9： 商店的货架上放着各种各样的茶杯(大小、形状、颜色各异)，选出图中你所喜欢的杯子，并说出位置。,例10、模拟活动：到电影院看电影,给你一张电影票：在“电影院”中找位置。,假如你去看电影，你觉得买哪个位置的电影 票比较好？,例11：方向和路线 如图，电影院在永春街的哪面？,例12、下面是一幅农场的平面图。根据图上的 信息，回答以下问题： (1)与牛棚占有土地面积几乎相等的是 A、果园 B、牧牛场 C、麦田 D、橄榄园,(2)农场主的儿子在图的正中央画了一条线，并 把经过的物体画了下来，下

17、面哪幅图最能显 示他所画的哪条线？,5、变换形体运动、变化的过程、结果与联系。,例13：通过怎样变换得到？,例14：将对称轴右边的图形画出来。,例15、要使下图成为上下对称、左右对称的图案，可以怎样增加彩色圆点？,三、引导学生形成“胸中之竹”,1、及时对比，突出差异，增强空间观念的清晰性。,例17、哪只小兔最先拿到萝卜？,例16、面积单位与长度单位比较,2、及时类比，异中求同，突出几何图形之间的逻 辑关系。,设法引导学生揭示新旧知识之间的联系，实现 知识迁移，从而顺利地掌握新知。,用联系变化的观点及时对知识进行组块，引导学生揭示知识间的内在联系，形成知识网络，建立起比较完整的知识体系。,3、通

18、过求积计算，反过来巩固和加深对几 何形体的认识。,四、诱发学生创造“手中之竹”,1、重视教给学习策略。,例21：如图，正方形的边长是5厘米，空白部分的梯形面积比空白部分三 角形的面积大12平 方厘米，CE3厘米，求CF的长度。,2、培养估计的能力,例22、,例23、,例24、,3、充分挖掘教材例题、习题的智力因素。,例25、求组合图形的面积（单位：厘米）,例26： 学校有一块长40米的正方形空地， 现要在这块空地上建造一个花圃，使种植花草 部分的面积占整块空地的一半。该如何设计花 圃的建造方案？,例27,例28,例29、小明家前不久买了一套商品房，房子的平面图如下：,完成如下三个问题： 小明家

19、各个房子的面积是多少？ 在装修时，小明家想将原来的客厅隔成一个正方形会 客室和一个小餐厅，怎样隔才能使会客室面积最大？ 如果在这个会客室和餐厅顶面的四周走石膏线，各需 石膏线多少米？,4、数学实践活动,例30、学习长方体、正方体表面积以后，研究：在一个长方体中挖去一个立方体，长方体的表面积怎样变化？,例31、将正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你能得到哪些不同的平面图形？请把它们画出来。从你得到的平面图形中，你发现了什么？,例32、在一次郊游活动中，小明在观赏一座底 面是正六边形的六棱柱古塔时，发现了一个很有趣 的现象：靠近古塔时，只能观赏到古塔的一个侧面； 移动到一个适当的位置时，可以同时观赏到古塔的 两个侧面；再换一个位置，甚至可以同时观赏到古 塔的三个侧面。请你画一张示意图，分别表明小明 只能观赏到古塔的一个侧面、可以同时观赏到古塔 的两个侧面、能够同时观赏到古塔的三个侧面时所 可能站立的位置。小明能否同时看到这个古塔的四 个侧面？如果古塔底面是正八边形，你能得到什么 结论？,4、数学课题研究（小课题研究）。,介绍到此结束 欢迎批评指正,