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1、13.2 三重积分,一、三重积分的概念,定义 设 在有界闭体 有定义.对任意,分法 : 将V分成个 小体 . 设其体,分别为,作和式 :,(1),令 若当 时，（1）式存在,极限 (数 与分法 无关也与 的取法无关).,即,则称 在体 可积. 是 在体 的,三重积分, 记为,或,二、三重积分的计算 与二重积分的计算一样. 求三重积分的方 法是将三重积分化为一次定积分与一次二重 积分. 进而化为三次定积分.,其中体称 为积分区域, 称为被积函数,或 称为体积微元,在直角坐标系中的计算法,如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体,其体积
2、为,故在直角坐标系下的面积元为,三重积分可写成,和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算.,具体可分为先单后重和先重后单,先单后重,也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ）,注意,用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。,化三次积分的步骤,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法,解,将 投影到xoy面得D，它是一个矩形,在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线,交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l m),例2 计算,其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域,解,画出
3、区域D,o,D,x,y,z,解,先重后单,除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分,先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分,若 f(x,y,z) 在 上连续,介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域,则,易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，,尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时,就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算,例5 计算,解,例6,解一,先重后单,解二,先
4、单后重,将 投影到 xoy 面得D,三、三重积分的换元,换元公式,柱面坐标变换,球面坐标变换,在柱坐标系下的计算法,规定：,如图，柱面坐标系中的体积元,然后再把它化为三次积分来计算,积分次序一般是先 z 次 r 后,积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定,例1,解,将 投到xoy 面得D,若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。,例2,在球坐标系下的计算法,规定,如图，球面坐标系中的体积元素为,然后把它化成对 的三次积分,具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示,积分次序通常是,解一,用球坐标,解二,用柱坐标,解,若 积分区域为球体、球壳
5、或其一部分,被积函数呈,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单,通常采用球坐标。,重积分的应用,1。平面图形的面积,由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时,区域D的面积,2。空间立体的体积,设曲面的方程为,则曲顶柱体的体积为,由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为,例1,计算由曲面,与 xoy 面所围成的立体的体积,解一,用二重积分,由对称性得,解二,用三重积分,例2,所围成的立体的体积,解,是柱形区域，用柱坐标,3。曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,解,曲面的方程为,4。质量,面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量,体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量,5。平面薄片的重心,若薄片是均匀的，重心称为形心.,6。平面薄片的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,7。平面薄片对质点的引力,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,