第章应力状态和强度理论.ppt

《第章应力状态和强度理论.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第章应力状态和强度理论.ppt（71页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、7 应力状态和强度理论,7-1 概述 7-2 平面应力状态的应力分析 主应力 7-3 空间应力状态的应力分析 7-4 应力与应变间的关系 7-5 强度理论及其相当应力 7-6 各种强度理论的应用,问题的提出,如：轴向拉伸杆件,斜截面应力：,问题1：构件不同截面上的应力一般是不同的；构件同一截面上不同点处的应力一般是不同的；构件同一点处，在不同方位截面上应力一般是不同的。,横截面应力：,要全面研究一点处各截面的应力,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,?,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,解释这些现象,必须研究一点所有截面上的应力, 知道哪个面上的应力最大,

2、?,问题2： 拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件,?,对于更复杂的受力状态，强度条件如何建立？,有必要研究一点的应力状态。,受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合, 称为该点处的应力状态,应 力,指明,一点的应力状态的概念,研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。,一点的应力状态的描述,研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体 单元体 进行分析,各边边长,在单元体各面上标上应力,应力单元体,单元体特征：,单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；,任意一对平行平面上的应力相等。,矩形截面悬臂梁

3、内一点的应力状态,（1）、主平面与主应力：,主平面：切应力为零的平面。,主应力：作用于主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值由大到小。,过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,应力状态的分类,单向应力状态： 只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力 状态。,二向应力状态： 有两个主应力不等于零 ，另一个主应力等于零的应力状态。,三向应力状态： 三向主应力都不等于零的应力状态。,（2)、应力状态的分类,平面应力状态： 单向应力状态和二向应力状态的总称。,复杂应力状态： 二向应力状态和三向应力状态的总称。,空间应力状态： 三向应力状态,简单应力状态： 单向应力状态。,纯剪

4、切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。,空间应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,取单元体示例一,S 截面,S 截面,取单元体示例二,S 截面,忽略弯曲切应力,7.2.1 斜截面上的应力解析法,空间问题简化 为平面问题,- 逆时针转为正。,由分离体平衡得：,单元体各面面积,由切应力互等定理和三角变换，可得：,符号规定： 1 )“”正负号同“ ”； 2 ) “t a”正负号同“t ” ； 3 ) “a ”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,讨论：,1 ),2 ) sa 的极值、主应力以及主平面方位,单元体的两个相互

5、垂直截面上的正应力之和为一常数,主平面的方位,主应力的大小,可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,若,若,若,3 ) 切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力所在的位置,xy 面内的最大切应力,主平面的位置,最大切应力 所在的位置,将tmax 与smax、smin 画在原单元体上,例7-1 图示单元体，求 a 斜面的应力及主应力、主平面并画出主应力单元。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜面的应力,2、求主应力、主平面画主应力单元,主应力：,主平面位置：,主应力单元：,7.2.2 平面应力状态分析应力圆,这个方程恰好表示一个圆，这个

6、圆称为应力圆,消参数（ 2 ），得：,应力圆：,圆心：C,半径：,应力圆：,应力圆的画法,1. 作横轴为 轴，纵轴为 轴；,2. 标定与微元垂直的A、D面上的应力对应的点D1和 D2,3. 连线 D1 D2交 s 轴于C点，C 即为圆心， D1 D2为 应力圆直径,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力,几个对应关系,转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。,D1 点的坐标 ( x , x ) 对应单元体 x 平面上的应力,D2 点的坐标 ( y , y ) 对应单元体 y 平面上的应力,H 点的坐标 (

7、a , a ) 对应单元体 a 斜截面上的应力,利用应力圆求主应力和主平面位置,主应力,A1和 A2两点为与主平面对应的点， 其横坐标为主应力 1 ，2,主平面方位,由 CD1 顺时针转 2a0 到 CA1,所以从 x 轴顺时针转 a0 （负值）即到主应力s1对应的主平面的外法线,a0 的确定,由于 A1A2 为应力圆的直径, 则主应力 2 所在的另一主平面与主应力 1 所在的主平面垂直,例7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 所示。试绘出截面 C 上 a 点处的应力圆，并用应力圆求出该点处的主应力。,解: 首先计算支反力, 求截面C的剪力和弯矩,MC = 80 kNm,FSC- = 2

8、00 kN,横截面 C 上 a 点的应力为,a 点的单元体如图所示。,以D1D2为直径作应力圆。,A1，A2两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3。,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,主平面及主应力如图所示。,例7-3 试用解析法和图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力，并在单元体上标出主应力的方位。,解：解析法 易知,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,解：图解法,A1，A2两点的横坐标分别代表 两个主应力 1 和 3。,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,主平面及主应力如图所示。,D1，D2两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力 t max

9、 和 t min。,例7-4 已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。,95MPa,45MPa,2,O,a,a,b,b,C,95,45,95MPa,45MPa,2,o,a,a,b,b,C,95,45,A1,A2,1,2,2a,2b,a,b,7.3.1 空间应力状态,空间应力状态的最普遍情况,x 平面：法线与 x 轴平行的平面。 y , z 平面的定义类似。,txy 表示 x 平面沿 y 方向的切应力,第一下标表示切应力所在的平面。,第二下标表示切应力的方向。,独立的应力分量有 6 个,根据切应力互等定理，在数值上有,正负号

10、规定：正应力规定同前，拉应力为正，压应力为负； 切应力规定不同于以前， 正面正向为正，负面负向为正，反之，为负,7.3.2 空间应力状态分析,构件内某一点处三个主应力 1、2、3,与s 3平行的斜截面上的应力可在s 1、s 2 应力圆的圆周上找到对应的点。 与s 2平行的斜截面上的应力可在s 1、s 3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与s 1平行的斜截面上的应力可在s 2、s 3 应力圆的圆周上找到对应的点。,1).弹性理论证明，图示单元体内任意截面上的应力都对应着三向应力圆上或阴影区内的一点。,2).整个单元体内的最大切应力为：,结论 ,例7-5 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）

11、,解：【解析法】,1) 由单元体知：x 面为主平面之一,2) 求 y-z 面内的最大、最小正应力。,3) 主应力,4) 最大切应力,解：【图解法】 1) x 面为主平面之一,2) 建立应力坐标系如图，画 y-z 平面的应力圆及三向应力圆得:,三向应力状态：,（广义虎克定律）,+,+,单向应力状态：,广义胡克定律的一般形式:,主应力与主应变方向是否一致 ?,在线弹性范围内，由于各向同性材料的正应力只引起线应变，主应力指向与主应变方向是一致,广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向的正应变：,a,a+90,展开上式，并略去高阶微量：,体积应变,体积应变与应力分量间的关系:,-平均应力。,体积应变

12、单位体积的体积改变,例7-6 槽形刚体内放置一边长为 a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, m = 0.3。,解：1) 研究对象：,2)由广义虎克定律：,正方形钢块,例7-7 已知一受力构件自由表面上的两各主应变数值为 e1 = 24010-6 ， e3 = -16010-6 。构件材料为Q235钢，其弹性模量E = 210 GPa，泊松比m = 0.3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变 2 的数值和方向。,解：,主应力s1， s2， s3 与主应变e1， e2， e3 一一对应。,由于构件自由表面，所以主应力2 = 0。该点

13、为平面应力状态。,该点处另一主应变 2 的数值为,2 是缩短的主应变，其方向必与 1 和 3 垂直，即沿构件的外法线方向。,例7-8 壁厚 t =10mm , 外径 D = 60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为 M 的扭转力偶，如图所示已知圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和 m = 0.3 ，若该圆筒的变形在弹性范围内，且 max = 10MPa , 试求k点处的线应变 x ，y 以及变形后的筒壁厚度。,求得 x，y 和 z方向的正应力，即主应力为,解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体，为纯

14、剪切应力状态,k 点处的线应变 x , y 为,圆筒表面上 k 点处沿径向 ( z 轴) 的应变为,同理可得圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为 ) 处的径向应变为,因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .,7.5.1 强度理论的概念,常温、静载下材料破坏的两种形式,(1)屈服(流动)失效: 材料破坏前发生显著的塑性变形。,(2)脆性断裂: 材料破坏时无明显的塑性变形。,影响材料破坏形式的因素,(1)与材料的力学性质有关。,(2)与材料的受力状态有关。,实践表明，无论塑性材料还是脆性材料，在三向压应力状态且三个主应力相近时都将以屈服的形式失效；在三向拉应力状态且

15、三个主应力相近时都将以断裂的形式失效。,实例2: 铸铁单向受拉时以断裂的形式失效，但淬火钢球压在厚铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态，随着压力的增大，铸铁板会出现明显的凹坑，这表明已出现屈服现象。,实例1: 低碳钢在单向拉伸下以屈服的形式失效，但低碳钢制成的螺栓，螺纹根部因应力集中引起三向拉伸就会出现断裂。,强度条件的建立,(1)单向应力状态下强度条件,(2)纯剪切应力状态下强度条件,材料的许用应力，是通过试验测定试件破坏时的极限应力,以此极限应力作为强度指标，除以适当的安全系数而得。即根据相应的试验结果建立的强度条件。,(3)复杂应力状态下强度条件如何建立？,能否依靠实验建立？,不能

16、！,应力状态的多样性： 复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。,试验的复杂性： 完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态很困难。,强度理论：,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法，称为强度理论。,7.5.2 四个经典强度理论,四个强度理论分两类,包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,第 二类强度理论以出现屈服现象作为破坏的标志,包括：最大切应力理论和形状改变能密度理论,第 一类强度理论以脆断作为破坏的标志,最大拉应力理论（第一强度理论）,脆断破坏的标志为： 1 = u,该理论认为材料发生脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力 s1 。无论什么应力状态

17、下，当最大拉应力 1 达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应力 u 时，材料就发生脆性断裂破坏，即,根据第一强度理论建立的强度条件为：,对于大部分脆性材料受拉应力作用，此理论结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。,局限性：,1、未考虑另外二个主应力影响。,2、对没有拉应力的应力状态无法应用。,最大伸长线应变理论（第二强度理论）,脆断破坏的标志为： e1 = eu,该理论认为材料发生脆性断裂破坏的主要因素是最大伸长线应变 e1 。无论在什么应力状态下，当最大伸长线应变 e 1 达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应变e u 时，材料就发生脆性断裂破坏，即,根据第二强度理论建立的强度条件为：,此理论与

18、石料、混凝土等脆性材料在压缩时纵向开裂的现象是一致的。,局限性：,考虑了其余两个主应力对材料强度的影响，在形式上较第一强度理论更为完善，但实际并不一定总是合理的。,最大切应力理论（第三强度理论）,塑性屈服破坏的标志为： tmax = tu,该理论认为材料发生塑性屈服破坏的主要因素是最大切应力 tmax 。无论在什么应力状态下，当最大切应力 t max 达到单向拉伸时发生塑性屈服的极限值t u 时，材料就发生屈服破坏，即,根据第三强度理论建立的强度条件为：,此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。,局限性：,未考虑主应力 s2 的影响，试验证实偏于安全。,形状改变能密度理论（第四强度

19、理论）,塑性屈服破坏的标志为： vd = vdu,该理论认为材料发生塑性屈服破坏的主要因素是形状改变能密度 vd 。无论在什么应力状态下，当形状改变能密度 vd 达到单向拉伸时发生塑性屈服的形状改变能密度极限值 vd u 时，材料就发生屈服破坏，即,根据第四强度理论建立的强度条件为：,它比第三强度理论更符合试验结果。,强度理论的统一表达式：,s r 相当应力,第一相当应力,第二相当应力,第三相当应力,第四相当应力,例7-9 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力。,解： 对于图示单元体， 1 = 0，2 = 3 = 120 MPa,例 7-10 两种应力状态分别如图所示

20、，试按第四强度理论，比较两者的危险程度。,解：一、判断 由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，切应力仅产生切应变。而两种情况下的正应力和切应力分 别相等，因此，其形状改变能密度也相等，故两种情况下的危险程度相等。,状态 (b) 设 ，则,二、核算 (1) 两种情况下的主应力为,状态 (a ),状态 (a ),状态 (b ),状态 (b),状态 (a ),各种强度理论的适用范围,在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。,对于塑性材料如低碳钢，除三轴拉应力状态以外的复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、第四强度理论。,对于脆性材料，在二轴拉应力状态下

21、，应采用最大拉应力理论。,在三轴压应力状态下，材料均发生屈服失效，无论是脆性或塑性材料均采用第四强度理论。,例7-11 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示。已知其材料 Q235 钢的许用应力为 = 170MPa , = 100MPa 。试按强度条件选择工字钢的号码。,解：作钢梁的内力图。,FSC = FSmax = 200kN,MC = Mmax = 84 kNm,C , D 为危险截面,按正应力强度条件选择截面,取 C 截面计算,正应力强度条件为,选用28a工字钢，其截面的 Wz= 508 cm3,按切应力强度条件进行校核,对于 28a 工字钢的截面，查表得,最大切应力为,选用 28a 工字钢能满足切应力的强度要求。,取 a 点分析,腹板与翼缘交界处的的强度校核,a点的应力状态,a点的三个主应力为,由于材料是Q235钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度理论来进行强度校核。,若选用 28b 号工字钢，r4 = 173.2 MPa , 比 大 1.88% 可选用 28b 号工字钢,应另选较大的工字钢。,